提高数学解题能力，是我们最关心的一个问题。长期的经验表明，不少学生在完成作业或进行大量解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节：解题后的反思。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法？通过反思，可以提高解题能力，解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。笔者认为数学教学中，为了提高学生的解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。

　　一、解题反思的基本内涵

　　顾名思义,“思”是指“心”上有块“田”，那么，“反思”就是指“田”上有颗“心”。不断地“反思”就是指在“心田”上长出更多的“心”。这样，“心心”之火就会燃为燎原之势，创新的实质就是要不断地创“心”（反思）。“扪心自问”、“反求诸己”,这些耳熟能详的成语都反映了古人的“反思”意识。费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。波利亚说，“如果没有了反思，他们就遗漏了解题中一个重要而且有效的阶段，通过回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力”。曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。解题反思是对解题活动的反思，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思、解题结果表述的反思及解题失误的反思。从一个新的角度多层次、多方面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对问题的理解、优化思维过程、揭示问题本质、探索一般规律、沟通新旧知识间的迁移、深化对知识的理解。

　　二、例谈培养学生解题反思能力的策略

　　1、对解题所用知识点进行反思。反思解题所用知识点，寻找知识之间的交汇点，理清由知识点形成的知识链，从而进一步优化解题过程。

　　例l  已知二次函数?蕊(x)=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式?蕊(x)=0的解是-■＜x＜■，求a,b,c的取值范围。

　　解：由?蕊(x)=＞0的解是-■＜x＜■，知方程ax2+bx+c=0的根是-■和■，故

-■+■=-■,即a=6b(-■)×■=■,即a=-6

　　所以方程，ax2+■x-■-25=0有实数解，即

　　△=(■)2-4a（-■-25）=■a2+100a≥0

　　又由题设可知a＜0

　　所以a≤-144,b≤-24,c≥24

　　反思：本题用所知识点是一元二次方程的根与系数的关系，以及两曲线有公共点的代数意义等。弄清两曲线有公共点的代数含义，从而将问题转入为讨论一元二次方程有实根的条件问题。

　　2、从解题思维起点进行反思。在解题的整个过程中，如何破题是关键，也就是如何选择思维起点。

　　例2 已知a、b、c是互不相等的正实数，且a+b+c=1；求■+■+■的取值范围。

　　解：因为a＞0,b＞0,c＞0，

　　所以 a+b+c≥3■,■+■+■≥■

　　所以(a+b+c)(■+■+■)≥3■×■=9

　　而a+b+c=1，■+■+■≥9,当且仅当a=b=c时等号成立，又已知a≠6≠c，所以■+■+■＞9

　　故■+■+■的取值范围是(9,+∞)

　　反思：本题以“基本不等式”作为思维起点，合理利用a+b+c=1是破题的关键步骤，是思维起点的延续。

　　3、从不同的思维角度对解题过程进行反思。反思解题过程中，运用了哪些数学思想，如数形结合思想，函数与方程思想，集合对应思想，分类讨论思想，化归思想等；反思运用了哪些基本解题方法，如分析、抽象、类比、归纳等；反思运用哪些技巧，如换元法、消参法、待定系数法，配方法等。

　　例3已知函数y=?蕊(x)的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1(n=0,1,2......)时，该图象是斜率为的线段（其中正常数b≠1）设数列|xn|由?蕊(xn)=n(n=0,1,2......)定义，求x1,x2的表达式以及xn的表达式。

　　解：据题意?蕊(0)=0

　　由?蕊(x1)=1，当0≤y≤1时函数y=?蕊(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故

  ■=1,得x1=1。

　　由?蕊(x2)=2，当1≤y≤2时函数y=?蕊(x)的图象是斜率为b的线段，故

  ■=b，即x2-x1=■，得x2=1+■

　　由函数y=?蕊(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故有■=bn-1

　　又?蕊(xn)=n,?蕊(xn-1)=n-1,所以xn-xn-1=(■)n-1,n=1,2,3......

　　由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为（记x0=0）

　　又因为b≠1  所以xn=■(xi-xi-1)

=1+■+■+……+■=■

　　反思：这里应用数形结合的思想，对函数y=?蕊(x)的图象深入分析作为解题的大方向。联想斜率与坐标(x0,?蕊(x0)),(x1,?蕊(x1)),(x2,?蕊(x2))的关系，从而求出x1,x2，并归纳出的表达式，在具体的计算中用了布列方程法、换元法、累加法。

　　4、从一题多解的角度进行反思。在解决数学问题时，要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，并根据所教对象和内容的特点，精心创设一个符合学生认知规律，激发学生求知欲的由浅入深、多层次、多变化的问题情境，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。

　　例4已知两点M(-2,0),N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|■|·|■|+|■|·|■|=0，求动点P的轨迹方程.

　　解：设点P(x,y)，代入已知条件，得

  4·■+4·(x-2)=0

　　化简得：y2=8x

　　根据以上结果，提出了这样的问题：为什么点P的轨迹会是抛物线呢？这个能不能从已知条件中就能先够得到它的轨迹，从而得到它的方程？

　　所以我们又得到了另外一种解法：

　　∵|■|·|■|+|■|·|■|=0

  ∴|■|·|■|=■·■，

　　∴|■|·|■|=|■|·|■|cos∠MNP，即|■|=|■|cos∠MNP···①

　　①式的几何意义就是动点P到定点M(-2,0)的距离等于它到直线x=2，所以它的轨迹是抛物线，方程是y2=8x。

　　反思：通过这样的一题多解，可以开拓思路，沟通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。

　　总之，解题反思是一种积极的探究行为，通过反思，不仅可以拓宽思路，优化解法，训练学生的发散思维，培养学生的思维的灵活性和创造性，而且能让学生从题海战术中摆脱出来，真正实现素质教育。

　　参考文献：

　　[1] 徐文龙.例说解题反思应注重认知过程分析[J].数学通报.2005年08期

　　[2] 莫桂辉.例谈解题反思[J].湖南教育(数学教师).2008年04期

　　[3] 田金品.如何引导学生进行必要的解题反思[J].中学数学月刊.2011年07期