【正文】

  

      近年来，直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题，压轴题的位置，且选择题，填空题也有涉及，对于直线与圆锥曲线的问题可能会涉及交点个数问题，弦长问题及线段中点问题。

　　问题一，交点个数问题
　　此问题主要有两类题型：①判断直线与圆锥曲线的位置关系；②根据位置关系求解参数等相关问题。解决方法主要是：联立直线与圆锥曲线的方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程 ，记该方程的判别式为△，则⑴直线与圆锥曲线相交?圳△＞0；⑵直线与圆锥曲线相切?圳△=0；⑶直线与圆锥曲线相离?圳△＜0；但是，有时候消去x或y后得到的是一元二次型方程，这时，就需要对二次项系数进行讨论，当二次项系数不为0时，再利用判别式解答。特别地，只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线的渐近线平行，直线与抛物线的对称轴平行等情况。
　　例1 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围。
　　分析：当直线与椭圆有公共点时，：联立直线与椭圆的方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程 ，记该方程的判别式为△，则△≥0。
　　解：由4x2+y2=1y=x+m        
  消去y得：5x2+2mx+m2-1=0
　　因为直线与椭圆有公共点，所以△=4m2-20(m2-1)≥0，即16m2≤20
　　∴-■≤m≤■，即实数m的取值范围是{x|-■≤m≤■}
　　例2 已知双曲线方程x2-■=1，过点P（1,1）的斜率为的直线与双曲线只有一公共点，求的值。
　　分析：联立直线与双曲线的方程，消去或后得到的是一元二次型方程，这时，就需要对二次项系数进行讨论，当二次项系数不为0时，再利用判别式解答。但是，只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线的渐近线平行。
　　解：设直线l：y=k(x-1)+1代入双曲线方程得：(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0
　　当4-k2=0时，即k=±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个交点。
　　当4-k2≠0时，即k≠±2时，由△=(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0得：k=■
　　综上： k=■或k=±2
　　例3 已知双曲线C：x2-y2=2与P（1,2），求过点P（1,2）的直线l的斜率k的取值范围，使直线与双曲线C只有一个交点。
　　分析: 根据位置关系求解参数, 直线与双曲线C只有一个交点，在此问题中注意对二次型方程进行讨论，还有直线与双曲线的渐近线平行
　　解：①假设直线的斜率存在，设为k，直线l过点P（1,2），
　　则直线l的方程： y-2=k(x-1)
　　联立方程组2x2-y2=2y=kx+2-k      消去y，得：
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0
　　当2-k2=0时，即k≠■，此时直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个交点。
　　当2-k2≠0时，△=4(k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=0
　　解之，得：k=■      此时直线l与双曲线只有一个交点。
　　②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程：x=1，双曲线的右顶点（1,0），此时直线是双曲线的一条切线，只有一个交点。
　　综上所述：当k=±■或k=■或k不存在时，直线l与双曲线C只有一个交点。
　　问题二： 弦长问题
　　此问题主要有两类题型：①求已知直线与圆锥曲线相交时的弦长；②根据已知弦长求参数的取值范围。
　　解决方法主要有两种：①求直线与圆锥曲线的交点，利用两点间的距离公式求弦长，②设而不求得弦长，即设A(x1,y1),B(x2,y2) ，联立直线与圆锥曲线的方程，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程 ， 当△＞0时，再利用韦达定理 ，得： x1+x2,x1x2 （或y1+y2,y1y2 ），再利用弦长公式得：|AB|=■ |x1-x2|   （或|AB|= ■|y1-y2|）,如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况。
　　例4 已知斜率为1的直线l过椭圆■+y2=1的右焦点，求直线l被椭圆截得弦长|AB|
　　分析：求已知直线与圆锥曲线相交时的弦长，设A(x1,y1),B(x2,y2) ，联立直线与圆锥曲线的方程，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程 ， 当△＞0时，再利用韦达定理 ，得x1+x2,x1x2 （或y1+y2,y1y2 ），再利用弦长公式得：   |AB|=■ |x1-x2|   （或|AB|= ■|y1-y2|）即设而不求法。联立直线与圆锥曲线的方程，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程 ， 当△＞0时，再利用韦达定理 ，得： x1+x2,x1x2 （或y1+y2,y1y2 ），再利用弦长公式得：
　　解：由椭圆的方程：■+y2=1知:a2=4,b2=1,∴c2=a2-b2=3，∴右焦点（■,0）
　　直线l斜率为1，则直线l的方程：
y=x-■
　　联立方程组y=x-■x2+4y2=4  消去y得：5x2-8■x+8=0， △=32﹥0
　　设A(x1,y1),B(x2,y2) ，则x1+x2=■,x1x2=■
  |AB|=■■=■■=■■=■
　　例5 已知直线l：y=x+m和椭圆C：4x2+y2=1，若直线l被椭圆C截得的弦长为■，求直线l的方程。
　　分析：求直线l的方程也就是根据已知弦长求参数。通常用的方法也是设而不求，联立直线与圆锥曲线的方程，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程 ， 当△＞0时，再利用韦达定理 ，得x1+x2,x1x2 （或y1+y2,y1y2 ），再利用弦长公式得：|AB|=■ |x1-x2|   （或|AB|= ■|y1-y2|）,进而求得参数的值。
　　解：联立方程组y=x+m4x2+y2=1消去y得：5x2+2mx+m2-1=0，
　　则△=4m2-4×5(m2-1)﹥0，∴-■﹤m﹤■
　　设A(x1,y1),B(x2,y2) ，则x1+x2=-■m,x1x2=■
　　|AB|=■■=■■，即■■■=■■
  ∴m=±1
　　∴直线l的方程：y=x±1
　　例6 已知点A（-■,0)和B（■，0)动点C到点A,B的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交与D,E两点，求线段DE的长。
　　分析：由双曲线的定义求出方程，联立方程组，设而不求，利用弦长公式求出线段DE的长。
　　解：  设点C（x,y)，则||CA|-|CB||=2,根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，且轨迹方程为：■-■=1，2a=2，∴a=1 2c=|AB|=2■，
　　所以 a2=1,c2=3,b2=c2-a2=2
　　故知，点C的轨迹方程是 x2-■=1
　　由 x2-■=1y=x-2，消去y，得：x2+4x-6=0
　　因为△﹥0，所以直线l与双曲线有两个交点。
　　设交点D(x1,y1),E（x2,y2)，则 x1+x2 =-4，x1x2=-6
　　故 |DE|=■=■■=4■
　　问题三，中点弦问题
　　此问题主要有三种题型：①求弦所在的直线方程问题，②求弦中点的轨迹问题；③弦长为定值时，弦的中点坐标问题。
　　主要有两种解决方法：①联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；②利用“点差法”，求出与中点，斜率有关的式子，进而求解。
　　例7 过椭圆■+■=1内一点P（2,1）作一条直线交椭圆于A, B两点，使线段AB被点P平分，求此直线方程。
　　分析：求弦所在的直线方程问题，通常联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题
　　解：①假设直线的斜率存在，设为k
　　直线过P(2,1) ，则直线方程：y-1=k(x-2)，联立方程组y-1=k(x-2)x2+4y2=16 ,消去y，得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+16k2-16k-12=0
△=64k2(1-2k)2-4(1+4k2)-4(1+4k2)(16k2-16k-12)﹥0
　　即 12k2+4k+3﹥0 恒成立
　　设A(x1,y1),B(x2,y2) ，∴x1+x2 =■，  
　　∵P点是AB的中点，
　　∴■=2，  即k=-■
　　∴直线方程：x+2y-4=0
　　②当直线的斜率不存在时，直线方程为：x=2
　　此时点P不是AB的中点，
　　综上，直线方程为：x+2y-4=0
　　例8 已知椭圆方程：■+■=1，一组平行直线的斜率是■，当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点的轨迹方程。
　　分析：求弦中点的轨迹问题，也是利用设而不求法，联立方程组，消元，先利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式，消去参数，得到中点的轨迹方程。
　　解： 设斜率为■的直线方程为：y=■x+m
　　联立方程组■+■=1y=■x+m    消去y，得;  
9x2+6mx+2m2-18=0
　　△=36m2-36(2m2-18)﹥0, 即-3■﹤m﹤3■
　　设直线被椭圆截得的弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2) 
　　则x1+x2=-■m    y1+y2=■(x1+x2)+2m=m
　　设AB的中点为M,M(x,y) 
　　所以x=-■y=■ 即  y=-■x， (-■﹤x﹤■）
　　总之，直线与圆锥曲线的问题在整个高中数学乃至高考中都占据非常重要的位置，直线与圆锥曲线的问题主要涉及交点个数问题，弦长问题及线段中点问题。