【正文】      探究式教学是20世纪50年代由美国芝加哥大学的施瓦布教授在“教育现代化”中提出来的。探究式学习是为学生创设学习情境，并在教师指导下，通过发现问题、调查研究、动手操作、合作交流等探究性活动，以获取知识技能的学习过程。随着《高中数学新课程标准》的颁布实施，越来越多的中学教师自觉地投入到了新一轮教学改革中，现行高中数学教材也为我们实施探究式教学提供了广阔的空间，只要我们认真挖掘教材功能，教材中进行探究式教学的课题俯拾即是。例如《不等式》这一章中，有不少不等式证明的例习题都是很好的进行探究式学习的素材。其中有一道题是：“求证：当周长相等时，圆的面积大于正方形的面积”。笔者在教学这个例题时尝试了如下探究式教学法。
　　1． 创设情境，层层设问，拓展探究
　　1．1变题训练，激发探究
　　变更问题：若用一根长为L的铁丝，围成正方形或圆形，哪个面积大？为什么？
　　生1：周长为L的正方形的边长a=■，面积为S1=■；周长为L的圆的半径为r=■，面积S2=π(■)2，于是只要比较S1与S2的大小。
　　师：很好！那么用什么方法比较S1与S2的大小呢？请大家分组讨论，然后各组派代表上台板演一种证明方法，要求各组代表的证明方法尽量互不相同。（讨论合作，复习不等式证明的几种方法）
　　四生分别上台展示了差值比较法、商值比较法、分析法、综合法，然后教师作相应点评。按常规这个例题的教学到此就可以结束了，但如仅满足于此，则尤属登堂而未入室。学生思维刚刚燃起的一点星星之火就会很快熄灭，相反，如果我们能以此为契机，立足课本，开展探究性学习活动，引领学生深入研究，还可以得到一些耳目一新的结论。
　　1．2寻找背景，应用探究
　　师：这个问题的结论有什么实际背景或实际意义？
　　生2：用长为L的篱笆围成一个园子，围成圆形比围成正方形面积大，即围成圆形更经济；如，围一个鸡圈，围成圆形比围成正方形养的鸡子要多。
　　生3：用长为L的铝合金做窗户的外边框，做成圆形比做正方形面积大，透过的光线多；
　　生4：横截面为圆形的钢管比横截面为正方形的钢管在单位时间内通过的水量多；…
　　师：大家说的真好！说明大家平时很善于观察生活，能够将所学数学知识应用于实际，…‥
　　生5：既然这样，实际上我们看到的为什么并不都是圆形，还有正方形或其它图形呢？
　　师：这个问题提得很好！是啊，为什么没有全部制造成圆形呢？大家讨论讨论，说说是什么原因呢？
　　联系到学生身边的事例，大家的探究热情达到了高潮，相互交流十分火热，最后达成共识：即实际建造某个物品时，不只是应用数学知识，还要考虑所用材料的物理、化学性质，建筑学知识，美学知识等多方面的因素。
　　1．3动手操作，促进探究
　　师：我这里有一根长度一定的铁丝，你能围成什么图形呢？
　　生6：可以围成三角形、四边形、圆、椭圆。
　　生7(迫不及待地)：还可以围成其它多边形或随便围个圈。
　　师：同学们围成的图形可以分成两大类：一是多边形，二是封闭曲线型。那么，所有这些图形中，哪种图形的面积最大呢？
　　生8：我猜是圆形。
　　师：生8的猜测是否有道理呢？很显然：围成凸多边形要比凹多边形面积大，围成凸形曲线要比凹形曲线面积大。至于到底是多边形面积大还是封闭曲线的面积大还有待我们进一步研究。先看围成三角形时，最大面积是多少？即周长为的三角形何时面积最大？最大面积与正方形比较如何？（特殊化验证猜想并强化均值不等式求最值）
　　生9：由S(3)=■absinC=■≤■(■)3=■，外接圆半径R我求不出来了。
　　师：因为周长为的三角形的形状没有确定，所以外接圆半径并不是一个常数，所以这样求不出最大值。想想三角形中与三边和周长有关的面积公式还有哪个呢？
　　生10：海伦公式S(3)=■，其中p=■(a+b+c)=■
　　师：生10能记住这个公式真是难能可贵！好，请同学们利用这个公式求一下的最大值如何？
　　生11：S(3)=■=■≤■
　　当且仅当L-2a=L-2b=L-2c即a=b=c=■时取“=”
　　即当围成的三角形是正三角形时面积最大■，其最大面积比围成的正方形的面积要小。
　　师：这说明围成三角形并不是面积最大的围法。下面再看围成四边形ABCD时如何？
　　设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d且a+b+c+d=L则S(4)=■adsinA+■bcsinC≤■(ad+bc)(A=C=900时等号成立，此时a=c,b=d，四边形为矩形）≤■■·■（当且仅当ac=bd时取“=”，此时a=b=c=d，四边形为正方形）
　　即围成四边形时，当且仅当是正方形时面积最大。
　　1． 4启发猜想，结论探究
　　伟大的数学教育家波利亚在《数学与猜想》一书中指出：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么，就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”他还强调教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试，他向教师呼吁：“让我们教猜想吧！”
　　师：通过对围成三角形和围成四边形的研究，大家能发现什么规律吗？
　　生12：围成多边形时，当且仅当围成的是正多边形时面积最大。
　　师：很好！这是一个猜想，但这个猜想的确是正确的。根据目前所学知识，我们无法求任意多边形的面积，所以这个猜想目前还无法证明，留着同学们以后去研究吧（为后续学习作一个铺垫，让学生期待未来学习，产生学习的内驱力）。那么，当围成正多边形时，是不是边数越多面积越大呢？
　　生13：我猜想应该是这样的，因为周长为L的正三角形的面积<正方形的面积<正六边形的面积.
　　师：生13虽然举了三个例子，但这还是一个猜想，如何证明这个猜想的正确性呢？
　　生14：正n边形可以分成以中心为顶点的个等腰三角形，可求出S(n)=■cot■ （n≥3），于是，只要证明正n边形的面积S(n)（n≥3）是n的增函数。
　　师：生14又提出了一个新问题，即如何证明这个函数是增函数？
　　笔者顺势鼓励大家试试，教室的气氛再次热烈起来，这时，有学生在下面说：取值——作差——变形——判断。由于这类问题比较熟悉，同学们就迅速在草稿纸演算起来。但过了片刻，大家发现差的分子无法用三角公式变形，符号也不能确定，许多同学都抬起了头，用求助的眼光望着我，这时我才告诉大家，这个函数的单调性不宜用初等数学方法证明，等到我们学习了导数后，再来证明它是一个增函数就比较容易了（再一次为后续学习作铺垫）。在此我们先暂时承认这个结论，于是就有：
　　周长为定值的正多边形中，边数越多的面积越大。
　　师：当用长为L的铁丝围成一个封闭曲线图形时，很显然，凸型的比凹型的面积要大，凸得越很的面积越大，所以最后应该是围成圆时面积最大。那么，下面只要看围成的正n边形的面积S(n)是不是小于圆的面积了。也就是要证明■cot■＜π(■) 2
　　生15：用分析法，只要证明■<tan■∵0<■≤■<■, ∴此式恒成立,
　　即周长为的正多边形的面积小于周长为圆的面积。
　　通过以上不懈的深入探究，我们得到了一个非常重要的结论：
　　周长为定值的一切平面图形中，圆的面积最大。
　　古代数学家毕达哥斯曾经说过的：“一切立体图形中，最完美的是球；一切平面图形中，最完美的是圆。”今天我们沿着科学家的足迹，通过不断探索，也得到了这样一个结论，说明同学们都具有科学家的思维和品质。那么，这节课你有什么收获或感受呢？
　　有的说学习了不等式证明的几种方法；有的说学习了利用均值不等式求最值的方法；有的说进一步熟悉了海伦公式和基本关系sinα<α<tanα(α∈(0,■))；还有的说这样学数学觉得数学真有趣；…‥在大家的回味中结束了这节探究活动，同学们个个意犹未尽，我也是思绪万千。我相信，这样的课堂一定会“余音绕梁，三日不绝”。
　　2．教后反思，促进探究深入持久
　　2． 1充分预设，保证探究资源有效利用
　　探究资源一方面来自于课，课本中有关的探究素材，教师在备课时必须将其挖掘出来，教学时进行适度的拓展，弄清哪些需要精心设计，哪些只要点到为止，哪些必须加以回避；探究资源的另一方面来自于学生，包括学生的参与态度、知识水平、情感意志、合作能力等，教师在备课时必须知道设计什么样的问题才能激发学生兴趣，采取什么方式才能让学生通过自主探究或合作交流去发现规律，哪些环节教师是组织者，哪些环节教师是引导者，哪些环节教师是参与者，备课时就要精心设计让每个学生都有所收获的活动过程。
　　2． 2激励评价，保护学生探究热情
　　在探究活动中，无论学生提出的问题多么幼稚或深奥，教师都不能嘲笑或置之不理；无论学生回答的问题多么不着边际，教师都要设法找到闪光点并加以鼓励，保护好每一个同学的探究热情，营造民主、和谐、宽松的课堂氛围，构建师生、生生互动的平台，是探究活动顺利进行的必要条件。
　　2．3加强学习，促进自身素质不断提高
　　探究式学习既有利于培养学生的创新精神，又能促进教师自身素质的提高。首先教师要当好活动的引导者和组织者，就必须在工作中努力培养自己的组织能力；要使学生主动积极地参与到探究活动中来，教师必须具备很强的亲和力；学生在探究过程中提出的问题或探究的结果，教师要及时答复，这就要求教师必须具有较高的专业水平和应变能力。有些学生不知道的，教师必须心中有数。如函数S(n)=■cot■（n≥3）是增函数的证明就是通过求导，由S'(n)=■(■)'=■·■>0恒成立得到的。因此，教师只有加强教育教学理论和专业知识学习，才能使探究活动开展的更深入，更精彩。