【正文】      数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的过程与活动，而数学内容具有“动”与“静”，“变”与“不变”等特点，因此，对于一个数学问题从辩证的角度灵活地去观察、分析并处理，针对思维活动中的关键环节或薄弱环节，有意识地进行变式训练，能改善思维品质，提高思维能力，掌握思维方法。以下谈谈具体的做法。
　　一、 变换解题方法，培养思维的广阔性
　　思维的广阔性表现在多层面、多角度地去思考问题，发现事物之间的联系，并找出多种解法。
　　例1、已知：如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，P为BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F。
　　求证：PD + PE=CF。
　　这是一道有关线段关系的问题，经探究可以有以下几种方法：
　　解法一：（截长法）如图1，
　　作PG⊥CF于G，∵PD⊥AB于D，CF⊥AB于F，
　　∴PGFD为矩形，∴GF=PD; ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB, 
　　∵∠ABC =∠GPC, ∴∠ACP=∠GPC。又∵∠CEP=∠PGC=900，
　　CP=PC, ∴△CEP≌△PGC(AAS), 
　　∴CG=PE, ∴PD+PE=GF+CG=CF。








　　解法二：（补短法）如图2，









　　延长DP, 作CG⊥DP于G，∵PD⊥AB于D，CF⊥AB于F, 
　　∴GCFD为矩形，∴GD=CF;
　　∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB, ∵∠ABC =∠PCG, 
　　∴∠ECP=∠PCG.又∵∠CEP=∠CGP=900，CP=CP, 
　　∴△CEP≌△CGP (AAS), 
　　∴PG=PE, ∴PD+PE=PD+PG=GD=CF。
　　解法三：（面积法）如图3，
　　连结PA，∵S△ABP=■AB·PD，S△APC=■AC·PE
　　S△ABC=■AB·CF,   又S△ABP+S△APC=S△ABC
　　∴■AB·PD+■AC·PE=■AB·CF。
　　∵AB=AC，等式两边同时除以■AB,可得：PD + PE=CF。








　　这样，经常多角度地分析解决问题，不断总结，不断探索，寻找合理、准确、恰当的思维起点，使解题思路自然、流畅，能不断开发解题智慧，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
　　二、 变换题目条件，培养思维的发散性
　　思维的发散性表现在能准确找到相似事物间的共性与区别，从而把一个问题的处理方法推广到类似问题当中去。对于以上例1，可作如下变换：
　　（一）改变P点位置：










　　例2、已知：如图4，△ABC为等腰三角形，AB=AC，P为BC延长线上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F。试探讨：PD 、 PE、CF是否还具有例1中的关系？如果不具有，那么它们之间的关系是什么？说明理由。
　　分析：由观察可知，式子PD + PE=CF显然不成立。结合例1可猜得：PD - PE=CF。类比例1可得两种基本证法： 
　　解法一：如图5，作CG⊥PD于G，易证CGDF为矩形，
　　且△CEP≌△CGP, 可得PD-PE=PD-PG=DG =CF。
　　解法二：(面积法) 如图5，
　　连结PA，由S△ABP-S△APC=S△ABC ，
　　所以　■AB·PD-■AC·PE=■AB·CF。
　　∵AB=AC，等式两边同时除以■AB可得：PD - PE=CF。









　　（二）改变三角形形状：
　　例3、已知：如图6，设等边△ABC一边上的高为AH，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。









　　（1）线段PD 、PE、PF、AH之间有什么关系？说明你的理由。
　　（2）如果点P运动到三角形到外部，其他条件不变，线段PD 、PE、PF、AH之间又具有什么关系？ 
　　分析：（1）类比例1,易得PD +PE+PF =AH。此题可采用面积法证明。
　　如图7，连结PA、PB、PC,  ∵ S△ABC=S△ABP+S△APC+S△BPC








　　∴■BC·AH=■AB·PD+■AC·PF+■BC·PE。
　　∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,
　　∴AH  =PD +PE+PF。
　　（2）此题同样可采用面积法。如图8，
　　易得S△ABC=S△ABP+S△APC-S△BPC
　　∴■BC·AH=■AB·PD+■AC·PF-■BC·PE。
　　∴AH  =PD +PF-PE。









　　三、 变换题型，培养思维的灵活性
　　思维的灵活性是指根据情况的变化，及时调整思维过程与方法，克服思维定势，善于知识迁移，灵活运用各种信息解决问题。
　　（一） 改为阅读归纳题
　　例4、阅读例1、例2的解题过程，你能用一句话把它归纳成一个等腰三角形的性质定理的形式吗？
　　可归纳如下：
　　等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
　　等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
　　（二） 改为填空题
　　例5、已知：正△ABC边长为2，P为△ABC内的任意一点，点P到三边的距离之和为           。
　　分析：由例3可得, 等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于它的一条高，所以此题只需求出△ABC的一条高。经计算得答案为■。
　　例6、已知：如图9，△ABC中，AB=AC=4, ∠BAC =1500，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，则PD+PE=_________。
　　分析：由例4的结论可得, 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，所以此题只需求出△ABC的高BQ。因为∠BAC =1500，所以∠BAQ =300，所以BQ=■AB=2, 所以PD+PE=2。
　　通过一道习题引发多种变换，可以让学生去全面、深刻地理解一类问题的解决方法，把握问题中变与不变的关系，从而增强解决数学问题的应变能力，培养良好的思维品质。当然，思维品质的培养不是靠一两道题的变式就能解决的。在平时的教学中，我们要经常性地充分挖掘典型试题的内涵，不失时机地灵活处理，从而优化学生的思维品质，日积月累，就能在真正意义上提高学生分析并解决问题的能力。