刊名： 课程·教材·教法
Curriculum, Teaching Material and Method
主办： 人民教育出版社 课程教材研究所
周期： 月刊
出版地：北京
语种： 中文
开本： 大16K
ISSN： 1000-0186
CN： 11-1278/G4
历史沿革：
1981年创刊期刊荣誉：
国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊
中国期刊网来源刊
2011年度核心期刊，国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊，中国期刊网来源刊，百种重点期刊，社科双百期刊，首届全国优秀社科期刊。
高中数学圆锥曲线解题中的构造法分析
【作者】 张 艳
【机构】 陕西省延安市第一中学
【摘要】构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用，能够有效解决相关问题。本文结合实例对构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用探讨。【关键词】高中数学；圆锥曲线；构造法
【正文】
随着经济的发展和科学技术的进步，社会各领域对人才的竞争越发激烈。为了培养新时代优秀人才，教育教学的研究势在必行。由于数学知识在现实生活中的应用逐渐加大，而圆锥曲线部分在高中数学的知识地位不可替代，并且构造法是教师进行数学教学的一种重要的思想方法，因此，运用构造法来解决圆锥曲线问题具有重要的意义。下面，本文将要探析构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用。
一、构造图形法在解题中的应用
在解决一些数学问题时，由于不能直接从已知的数据中得出答案，而可以根据题中给出的已知条件或结论构造出相关的图形来获得结果，这样的方法就是构造图形法。教师运用这种方法教学，可以充分利用图形的直观性特点，将形象思维与逻辑思维解密结合在一起，让学生尽快地进入到题目情景中去，并最终解决问题。
例1 设F1 ,F2分别是椭圆的2个焦点，若在此椭圆上存在一点P使∠F1PF2=90°，求离心率e的范围。
解析 方法一： 点P在以F1F2为直径的圆上，又点P在椭圆上，固有c≥b
即c2≥a2-c2，所以e2≥■,所以e∈[■，1）
方法2：依题意，PF12+PF22=F1F22=4c2
所以（2a）2=(PF1+PF2)2=PF12+PF22+2PF1·PF2≤4c2+4c2=8c2
所以e2≥■ 所以e∈[■，1）
分析：通过两种方法对比，我们不难发现，方法一是从几何角度来研究问题的，就是最大限度地利用图形条件。运用这样的构造方法，往往能够省去很多不必要的运算。
二、构造命题法在解题中的应用
该方法主要用于在论证某些命题而感到没有直接依据或比较困难时，以此来解决问题。
例1 设椭圆方程为■+■=1，试求它的中心轨迹关于点M（-1,1）对称图形的轨迹方程。
引用命题：已知曲线方程f（x ，y），则它关于点M（x0 ，y0）对称的曲线方程是f（2x0-x，2y0-y）=0（证明略）
解析 设椭圆中心为（x ，y），根据题意，有
X=2t
Y=-t2
消去参数得椭圆中心轨迹方程为：f（x ，y）=x2+4y=0
由上可知，它关于M（-1,1）对称图形的轨迹方程为f（-2-x ，2-y）=0
即：（-2-x）2+4(2-y)=0
化为：（x+2）2=4（2-y）即为所求轨迹方程。
分析：由于题中没有直接给出曲线方程关于一个点对称的方程式，采用这种构造法，可以很快的打开解题思路，最终解决问题。
另如例2 过点A（1,2）的直线l与双曲线x2-■=1交于两点p1，p2,求线段p1p中点p的轨迹方程。
命题：过定点P（x0y0）的动直线l与二次曲线C：F（x ，y）=0相交弦的重点轨迹方程是：
F（x ，y）=F'（x0 ，y0）(x ，y)(证明略)
解析：由命题可知，p的轨迹方程为：x2-■-1=2x-■-1
整理得：2x2-y2-4x+y=0即为所求轨迹方程。
分析：该题如上题一样，都可使用构造命题的方法来解决。
三、构造方程法在解题中的应用
构造方程法，就是根据问题的结构特征及其数量关系，挖掘潜在的已知和未知因素，从而构造出方程，使问题能够巧妙的解答出来。
例1 已知△ABC的顶点A ，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线L：上，且AB‖L。求：（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。
解题技巧：本题要准确把握好直线L的位置，将题中的几何信息转化为代数方程法，使几何问题变成解方程问题，能够使问题简单化，有利于快速的得出答案。
解析 （1）因为AB‖L，且AB便通过点（0,0）
所以AB所在直线的方程为，
设A，B两点坐标分别为（x1 ，y1），（x2 ，y2）
由x2+3y2=4y=x 得x=±1，
所以|AB|=■|x1-x2|=2■
又因为AB边上的高h等于原点到直线L的距离
所以h=■
所以S△ABC=■|AB|·h=2
（2） 设AB所在直线方程为，
由x2+3y2=4y=x+m 得4x2+6mx+3m2-4=0
因为A、B在椭圆上，所以△=-12m2+64＞0
设A、B两点的坐标分别为（x1 ，y1），（x2 ，y2）,
所以|AB|=■|x1-x2|=■
又因为BC的长等于点（0 ，m)到直线L的距离，即|BC|=■
所以 |AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11
所以，当m=-1时，AC边最长，（这时△=52>0)
此时AB所在直线方程为y=x-1
结语
在解决圆锥曲线问题时，我们首先要大致辨识题目所要考察的知识点，以便与已掌握的知识建立联系，从而根据已有的知识经验进行求解，这在一定程度上减少了盲目解题的可能性。接下来就是选取合适的解决方法：问题的解决有多种方式。但是，在这里，运用构造法的解题方式，就是要改变解题过程中的呆板模式，善于找到数与形、数与量、数与方程等之间的内在联系，开阔思维，用多元化的方法来处理解决圆锥曲线问题。
随着经济的发展和科学技术的进步，社会各领域对人才的竞争越发激烈。为了培养新时代优秀人才，教育教学的研究势在必行。由于数学知识在现实生活中的应用逐渐加大，而圆锥曲线部分在高中数学的知识地位不可替代，并且构造法是教师进行数学教学的一种重要的思想方法，因此，运用构造法来解决圆锥曲线问题具有重要的意义。下面，本文将要探析构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用。
一、构造图形法在解题中的应用
在解决一些数学问题时，由于不能直接从已知的数据中得出答案，而可以根据题中给出的已知条件或结论构造出相关的图形来获得结果，这样的方法就是构造图形法。教师运用这种方法教学，可以充分利用图形的直观性特点，将形象思维与逻辑思维解密结合在一起，让学生尽快地进入到题目情景中去，并最终解决问题。
例1 设F1 ,F2分别是椭圆的2个焦点，若在此椭圆上存在一点P使∠F1PF2=90°，求离心率e的范围。
解析 方法一： 点P在以F1F2为直径的圆上，又点P在椭圆上，固有c≥b
即c2≥a2-c2，所以e2≥■,所以e∈[■，1）
方法2：依题意，PF12+PF22=F1F22=4c2
所以（2a）2=(PF1+PF2)2=PF12+PF22+2PF1·PF2≤4c2+4c2=8c2
所以e2≥■ 所以e∈[■，1）
分析：通过两种方法对比，我们不难发现，方法一是从几何角度来研究问题的，就是最大限度地利用图形条件。运用这样的构造方法，往往能够省去很多不必要的运算。
二、构造命题法在解题中的应用
该方法主要用于在论证某些命题而感到没有直接依据或比较困难时，以此来解决问题。
例1 设椭圆方程为■+■=1，试求它的中心轨迹关于点M（-1,1）对称图形的轨迹方程。
引用命题：已知曲线方程f（x ，y），则它关于点M（x0 ，y0）对称的曲线方程是f（2x0-x，2y0-y）=0（证明略）
解析 设椭圆中心为（x ，y），根据题意，有
X=2t
Y=-t2
消去参数得椭圆中心轨迹方程为：f（x ，y）=x2+4y=0
由上可知，它关于M（-1,1）对称图形的轨迹方程为f（-2-x ，2-y）=0
即：（-2-x）2+4(2-y)=0
化为：（x+2）2=4（2-y）即为所求轨迹方程。
分析：由于题中没有直接给出曲线方程关于一个点对称的方程式，采用这种构造法，可以很快的打开解题思路，最终解决问题。
另如例2 过点A（1,2）的直线l与双曲线x2-■=1交于两点p1，p2,求线段p1p中点p的轨迹方程。
命题：过定点P（x0y0）的动直线l与二次曲线C：F（x ，y）=0相交弦的重点轨迹方程是：
F（x ，y）=F'（x0 ，y0）(x ，y)(证明略)
解析：由命题可知，p的轨迹方程为：x2-■-1=2x-■-1
整理得：2x2-y2-4x+y=0即为所求轨迹方程。
分析：该题如上题一样，都可使用构造命题的方法来解决。
三、构造方程法在解题中的应用
构造方程法，就是根据问题的结构特征及其数量关系，挖掘潜在的已知和未知因素，从而构造出方程，使问题能够巧妙的解答出来。
例1 已知△ABC的顶点A ，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线L：上，且AB‖L。求：（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。
解题技巧：本题要准确把握好直线L的位置，将题中的几何信息转化为代数方程法，使几何问题变成解方程问题，能够使问题简单化，有利于快速的得出答案。
解析 （1）因为AB‖L，且AB便通过点（0,0）
所以AB所在直线的方程为，
设A，B两点坐标分别为（x1 ，y1），（x2 ，y2）
由x2+3y2=4y=x 得x=±1，
所以|AB|=■|x1-x2|=2■
又因为AB边上的高h等于原点到直线L的距离
所以h=■
所以S△ABC=■|AB|·h=2
（2） 设AB所在直线方程为，
由x2+3y2=4y=x+m 得4x2+6mx+3m2-4=0
因为A、B在椭圆上，所以△=-12m2+64＞0
设A、B两点的坐标分别为（x1 ，y1），（x2 ，y2）,
所以|AB|=■|x1-x2|=■
又因为BC的长等于点（0 ，m)到直线L的距离，即|BC|=■
所以 |AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11
所以，当m=-1时，AC边最长，（这时△=52>0)
此时AB所在直线方程为y=x-1
结语
在解决圆锥曲线问题时，我们首先要大致辨识题目所要考察的知识点，以便与已掌握的知识建立联系，从而根据已有的知识经验进行求解，这在一定程度上减少了盲目解题的可能性。接下来就是选取合适的解决方法：问题的解决有多种方式。但是，在这里，运用构造法的解题方式，就是要改变解题过程中的呆板模式，善于找到数与形、数与量、数与方程等之间的内在联系，开阔思维，用多元化的方法来处理解决圆锥曲线问题。
