【正文】     垂径定理及推论是与圆有关的非常重要的性质,它是证明线段、角相等、垂直关系，圆的计算和作图提供了方法和依据,学生在解决实际问题，灵活应用却非易事.现结合教学及生活实例说明．
　　一、垂径定理文字及几何语言描述
　　(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　用几何语言表示：
　　如图，∵在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于点E.
　　∴EA＝EB，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC．




　　(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　用几何语言表示：
　　如图，∵在⊙O中，CD是直径，若AE＝EB.
　　∴CD⊥AB，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC．
　　特别说明：弦（不是直径）。而学生在这个问题上理解有难度。
　　二、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ，让学生明白垂径定理在圆中应用
　　如图，⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
　　解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
　　∴F为CD的中点，即CF＝DF.
　　∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.
　　∴OA＝4，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2.
　　在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
　　∴OF＝2(1)OE＝1.
　　在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
　　根据勾股定理得：DF＝__________   则CD＝2DF＝2__________.
　　三、垂径定理在生活中有着广泛的应用，要和勾股定理相结合。
　　1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中      ，点O是
的圆心，其中CD=600m，E为      上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
　　分析：垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
　　解：如图，连接OC
　　设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
　　∵OE⊥CD
　　∴CF=■CD=■×600=300（m）
　　根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
　　即R2=3002+（R-90）2  解得R=545
　　∴这段弯路的半径为545m．
　　2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．




　　分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．
　　解：不需要采取紧急措施
　　设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18
　　R2=302+（R-18）2  R2=900+R2-36R+324
　　解得R=34（m）
　　连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16
　　342=162+（34-x）2
　　162+342-68x+x2=342    x2-68x+256=0
　　解得x1=4，x2=64（不合设）
　　∴DE=4
　　∵4＞3.5，
　　∴不需采取紧急措施．
　　3：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？



　　解：连接OA
　　∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
　　∴AD＝2AB＝1米，∠CDA＝90°
　　在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则
　　OA＝OC＝R，OD＝5－R.
　　由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即
　　R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
　　故圆拱形门所在圆的半径为2.6米． 
　　通过以上几例可以看出，解题的关键是通过思路引伸，把生活中问题转化成数学问题来解决，观察，比较，分析，综合，概括，把复杂的生活问题简单化，有利于培养学生思维发散能力和自主探索能力，达到数学教学目标。