【正文】  在概率中，电路问题是一个很常见，很基本的问题，应用相互独立事件同时发生概率或者互斥事件有一个发生的概率问题．电路问题无非是串联、并联、或由串联、并联构成的混合电路三类，如下图，甲为串联电路，
　　乙为并联电路．





　　如果三个电路元件元件A,B,C正常工作的概率依次为a,b,c，那么甲电路正常工作的概率为abc，乙电路正常工作的概率通过对立事件来计算，结果为1-(1-a)(1-b)(1-c)，当然也可以正面分7类互斥事件来做，其中1个正常工作（2个不正常工作）3类；2个正常工作（1个不正常工作）3类；3个都正常工作（0个不正常工作）1类．混合电路可以转化电路甲或电路乙．
　　例1、如下图，三个自动控制的常开开关A,B,C，每个开关能够闭合的概率分别为a,b,c，分别计算甲、乙两种电路灯泡亮的概率？






　　分析：甲、乙均为混合电路，如下图，简化电路：










　　电路甲灯泡亮的概率为：[1-(1-a)(1-b)]c=ac+bc-abc，
　　电路乙灯泡亮的概率为：1-(1-ab)(1-c)=c+ab-abc．
　　例2、如下图，设每一个电子元件能正常工作的概率均为p(0＜p＜0)，请问甲、乙哪一种正常工作的概率大？





　　分析：电路甲先串联再并联，电路乙先并联再串联．如下图，简化电路：







　　电路甲正常工作的概率为：1-(1-p2)2=2p2-p4，
　　电路乙正常工作的概率为：[1-(1-p)2]2=4p2-4p3+p4．
　　∵(4p2-4p3+p4)-2(p2-p4)=2p2(1-p)2＞0，
　　电路乙正常工作的概率大．
　　例3、(2001年山西文19理18)如下图，用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1,N2，当元件A,B,C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B,C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作，已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90，分别求系统正常工作的概率P1,P2．






　　解：分别记元件A,B,C正常工作为事件A,B,C，由已知条件可知；
  P(A)=0.80,P(B)=P(C)=0.90
　　因为事件A,B,C是相互独立的，所以系统N1正常工作的概率为
  P1=P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648
　　系统n2正常工作的概率为


　　故，P1=0.648,P2=0.792．
　　为此我们研究如下的串联系统和并联系统的可靠度的计算．
　　设系统由n个元件链接而成,令Ai={在时间区间[0,t]内第i个元件正常工作}(i=1,2,3,……,n),A={在时间区间[0,t]内系统正常工作},并假设每一元件发生故障不影响其他元件发生故障,即Ai(i=1,2,3,……,n)相互独立.
　　(1) 串联系统
　　若一个系统由n个元件构成(如图),



　　称为串联系统.它的特点是其中一个元件发生故障时,整个系统就发生故障,即系统能正常工作的充分必要条件为n个元件同时正常工作.所以有
　　P(A)=P(A1A2A3…An)
　　由独立性假设可知: P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)    









　　可以看出:当n越大(即元件越多),系统的可靠度越小.
　　(2) 并联系统
　　若一个系统由n个元件构成(如图),则称为并联系统.
　　它的特点是当且仅当n个元件全部发生故障时,系统才发生故障,即当n个元件中至少有一个元件正常工作时,系统就可以正常工作,此时
　　P(A)=P(A1+A2+A3+……+An)     
　　由于n个元件是独立的
　　所以, 





　　可以看出随着元件的增多可靠度越大.
　　现在,我们已经解决了串联和并联问题,我们可以把任何一个复杂的电路捆绑处理变成简单电路,这样我们就可以逐步的解决任何和电路有关的概率问题,不妨我们把这种方法叫做捆绑法.
　　练习：
　　1.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
　　解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C．
　　事件A， B，C相互独立．
　　这段时间内3个开关都不能闭和的概率是











　　2.在如右图所示的电路中，开关a,b,c,开或关的概率都是■，且相互独立，求灯亮的概率．答案：■．







　　3.如下图，电路是由电池和两个并联的电池及电池串联而成，已知A,B,C三个电池损坏的概率分别为0.3、0.2、0.2，试求电路发生间断（停电）的概率．答案：0.328．






　　4.如图所示，的线路中各元件能否正常工作是相互独立的,已知a,b c,d,e正常工作的概率分别是0.9,0.95,0.7,0.8,0.85.求线路畅通的概率.
            






                                
　　5.如图所示的电路中,所有开关闭合的概率都是0.5,且互相独立,求　　　　　
　　(1)灯亮的的概率
　　(2)已见灯亮,开关a,b闭合的概率.
　　6.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为■,■,■将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
　　（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
　　（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.














　　解：记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3，则
P(A1)=■,P(A2)=■,P(A3)=■,
　　（Ⅰ）不发生故障的事件为(A2+A3)A1.
　　∴不发生故障的概率为





　　（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
　　图1中发生故障事件为(A1+A2)A3
　　∴不发生故障概率为




　　图2不发生故障事件为(A1+A3)A2，同理不发生故障概率为P3=P2＞P1