【正文】  【背景】：
　　时间：2017年3月14号上午第三节课
　　地点：石河子第二中学高三（16）班
　　科目：高三数学
　　班级情况：我所任教16班的班级一个是理科平行班。学生的基础一般，但学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，经常眼高手低，使用数学语言的表达能力也略显不足。
　　课型：高三二轮复习课
　　【主题】：借助误题走出误区，提高复习备考效率
　　案例源自于某地高三质检题。主要考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 同时凸显数形结合、转化与化归等思想，是一道集知识、能力、方法与思想于一体的综合性较强的试题。鉴于此，将该题作为三角函数专题中的一道作业题。从作业批改中显示大部分同学出现两解，或随意舍弃一解的情况。特此在作业点评时，先由学生展示自己的典型解法，比对出矛盾所在，并依此展开讨论，最终由学生经讨论探究出问题所在，借助误题走出误区。
　　【情景描述】：
　　案例：在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知b=4,c=6,C=2B.
　　（1）求cosB的值；（2）求△ABC的面积.
　　试题分析：（1）由正弦定理得■=■，将已知条件代入此式，可求得cosB的值；
　　试题解析（1）：在△ABC中，由正弦定理得■=■，
　　因为b=4,c=6,C=2B，所以■=■，即■=■，
　　又sinB≠0，∴cosB=■.
　　学生1分析：由于已知两边b、c和角B的余弦值，先根据余弦定理b2=a2+c2-2ac×cosB求a的值，再代入三角形面积公式.
　　学生1解析：（2）在△ABC中，∵b=4,c=6,cosB=■，
　　由余弦定理b2=a2+c2-2ac×cosB得16=a2+36-9a,
　　∴(a-4)(a-5)=0，得a=4或a=5
　　在△ABC中，又∵cosB=■，∴sinB=■，
　　所以：当a=4时，S=■bc×sinC=■×4×6×■=3■
　　当a=5时，S=■bc×sinC=■×5×6×■=■
　　综上所述：S=3■或■
　　学生2分析：（2）由cosB=■可求sinB=■，又sinC=sin2B，可求出sinC与cosC，由三角形内角和求得sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)的值，代入三角形面积公式即可.
　　学生2解析：由（1）知cosB=■，从而sinB=■.
　　因此sinC=sin2B=2sinBcosB=■，cosC=cos2B=2cos2B-1=■.所以
　　sinA=sin(π-B-C)=sin(B-C)=sinBcosC+cosBsinC=■×■+■×■=■，
　　所以△ABC的面积为■×4×6×■=■.
　　所得意外结论：在解题过程中，从局部看，每一步都是严谨、规范的，但是从整体审视，其结论存在矛盾。思路1有两解，思路2有一解。到底是多了？还是少了？问题在哪？
　　学生3分析：以上方式出现矛盾，我们再换一种思路也可解决问题，先求角C的余弦值，再用余弦定理求得边a,最后再求面积。
　　学生3解析：由cosB=■可求sinB=■，∵C=2B,
  ∴cosC=cos2B=cos2B-sin2B=■-■=■
　　由余弦定理c2=a2+b2-2ab×cosB得a2-a-20=0，
　　∴(a+4)(a-5)=0，得a=-4或a=5，故边长a=5。
  ∴S=■bc×sinC=■×5×6×■=■
　　综上所述有思路2和思路3可知：S=■
　　问题反思：如果是思路1出现了我们百年难遇的增根，增根的根在哪里？
　　学生4：之前在必修五学习正余弦定理时，有一类题型：在锐角三角形中，已知两边和其中一边的对角，判断三角形解的个数。如图所示：









　　在△ABC中，b=4，c=6,cosB=■,角B为锐角，sinB=■，■
  ∵h=c×sinB=6×■=■=■＜■=4=b＜c=6
　　∴边长a=4或a=5，如何判断出是出现增根，而不是两解均成立，因为我们忘却了一个条件C=2B
  ∵C=2B,∴边长a只能取一值
　　由图知：若a=b=4，则∠B=∠BAC1=■∠AC1C2=■∠AC2C1，∴边长a=5,需舍弃a=4。
　　点评：本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边.
　　【课堂反思】： 
　　对学生在作业中的错题，不仅仅是告知其标准答案是什么，关键在于引导更多的孩子换位思考，为什么会错，错因是什么，怎么可以避免今后再犯类似的错误。以一道学生错误率较高的作业题形成一节复习课，通过学生在课堂上的表现，可以感觉到可以感觉到 他们探究热情，他们的求知欲。在一堂数学课的设置上，有时要同时使用多种教学方法，教无定法贵要得法只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法，都应该运用到教学上。本次将该题作为三角函数专题中的一道作业题。从作业批改中显示大部分同学出现两解，或随意舍弃一解的情况。特此在作业点评时，先由学生展示自己的典型解法，比对出矛盾所在，并依此展开讨论，最终由学生经讨论探究出问题所在，借助误题走出误区，虽然可能用近30分钟仅仅解决了一个考点，但无论是对教师本身，还是对于学生都有很大的收获，真心的期待我们的教学节奏可以再慢一点，在教学的之中多品味过程之美，可以静心下来借助更多的错题，换位思考，持果索因，对症纠错，借助误题走出误区，提高学习效率。