【正文】  知识理解：在导数的学习中，有几条特殊的切线需要我们关注，比如：函数y=ex图象在点处的切线方程为y=x+1，由此不等式ex＞x+1(x≠0)需要关注；类似的，函数y=lnx图象在点(1,0)处的切线方程为y=x-1，由此不等式x-1＞lnx(x≠1)需要关注；比如函数y=sinx图象与函数y=tanx图象在原点处的公切线方程为y=x，由此不等式sinx＜x＜tanx（0＜x＜■）需要关注；它们是函数的重点，也是高考的高频考点，结合函数图象理解可以让上述不等式更清晰。











　　问题辨析：
　　已知a＞1，判断函数g(x)=ex-asinx-1在(0,π)的零点个数，并证明你的结论；
　　分析：函数g(x)=ex-asinx-1在(0,π)的零点个数，即关于x的方程ex-asinx-1=0的实根个数，即ex-1=asinx实根个数，需考查函数y=ex-1图象与y=asinx（a＞1）图象交点的个数，
　　注意到：函数y=ex-1与y=sinx在原点处有公切线y=x，于是有ex-1＞x＞sinx（0＜x＜π），而当a＞1时，只需函数y=sinx图象上各点纵坐标扩大为原来的a倍（横坐标不变），可得函数，y=asinx,这样，直线y=x不再是函数y=asinx的切线，而是一条“交线”。










　　解析：函数g(x)=ex-asinx-1在(0,π)存在唯一的零点；
　　证明：当a＞0时，g(x)=ex-asinx-1，g'(x)=ex-acosx，
　　g''(x)=ex+asinx＞0恒成立（x∈(0,π)），所以g'(x)在(0,π)上单调递增，
　　于是g'(x)∈(g'(0)),g'(π)，即g'(x)∈(1-a,eπ+a)，因为1-a＜0，eπ+a＞0，
　　所以存在x0∈(0,π)，g'(x0)=0，
　　当x∈(0,x0)时，g'(x)∈(1-a,0)，g(x)单调递减，g(x)∈(g(x0),0)，此时没有零点；
　　当x∈(x0,π)时，g'(x)∈(0,eπ+a)，g(x)单调递减，g(x)∈(g(x0),g(π))，
　　g(x0)＜0，g(π)=eπ-1＞0，故g(x)在(x0,π)上存在唯一零点，则在(0,π)存在唯一零点，
　　拓展思考： 
　　实际上，我们在这一问题的学习中，可以紧扣这几条比较重要的切线，其余问题可以尽量和这几条切线联系在一起。比如上面辨析中，函数y=ex图象向下平移一个单位长度可得函数y=ex-1的图象，于是函数y=ex图象在(0,1)处的切线y=x+1相应地变化为函数y=ex-1在(0,0)处的切线y=x，而切线是很“微妙”的位置，是一种临界状态，考虑好这种特殊情况对我们研究函数的变化是有很大帮助的。
　　强化运用：
　　1．若x2＞x1＞0，则（   ）
　　A.x22-x12＞2cosx1-2cosx2   B. x22-x12＜2cosx1-2cosx2
　　C.x2-x1＞cos2x1-cos2x2    D.x2-x1＜cos2x1-cos2x2
　　解析：对于A、B，比如A，欲证：x22-x12＜2cosx1-2cosx2，只需证：x22+2cosx2＜x12+2cosx1，
　　构造函数f(x)=x2+2cosx，因为x2＞x1＞0，只需证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增即可，
　　只需证明f'(x)=2x-2sinx≥0在(0,+∞)恒成立即可，
　　因为f''(x)=2-2cosx≥0恒成立，所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
　　故f'(x)＞f'(0)，又f'(0)=0，所以f'(x)＞0在(0,+∞)恒成立，故得证；
　　实际上，由前面“知识理解”可知直线y=x是函数y=sinx在原点处的切线，
　　不等式x＞sinx（x＞0）是成立的，这必须得到较快反馈；































　　知识小结：函数y=ex在点(0,1)处的切线y=x+1，函数y=lnx在点(1,0)处的切线y=x-1，函数y=sinx在点(0,0)处的切线y=x，以及由这三条曲线与三条切线的位置关系所引出若干不等式，历来都是考题的“原型”，其中从“割线”到“切线”包含着极限的思想。本文通过典型例题的辨析，利用数形结合，先有一个好的结论，再去证明这结论，这是有效而恰当的。在命题的过程中，参考这几条重要的切线展开命题思路，这是常见的，当然，结论或许容易判断，但并不一定容易证明。