【正文】

　　新定义题是指命题者按一定的规则和要求，给出学生从未见过的新定义、新模型，要求学生运用所学的知识和方法理解新定义和新模型，从而解决问题。它是一类全面考查学生学习能力和数学素养的试题，题型新颖，挑战性强，主要考查学生对已学知识与新问题的关联程度以及考查学生的学习能力。新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现，其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”。这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律。
　　新定义题型是中考热点题型。“该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等．这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特。近几年来，各地中考中都编拟了新定义题，笔者认为，新定义题主要分为定义数、定义式、定义函数、定义图形。
　　1  新定义数
　　例1.（2015 重庆A）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
　　(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
　　(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.
　　考点：因式分解的应用；规律型；数字的变化类． 
　　分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”， 
　　设任意四位“和谐数”形式为：abcd，根据和谐数的定义得到a=d，b=c ，则 
　　■=■=■=■=91a+10b为正整数，
　　易证得任意四位“和谐数”都可以被 11 整除； 
　　（2 ）设能被11 整除的三位“和谐数”为：zyx，则 
  ■=■=■=9x+y+■为正整数．故y=2x  （1≤x≤4 ，x 为自然数）． 
　　解答：解：⑴四位“和谐数”：1111，2222，3443，1221等
　　任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：
　　设四位“和谐数”是abcd，则满足：
　　个位到最高位排列：d,c,b,a
　　最高位到个位排列：a,b,c,d
　　由题意，两组数据相同，则：a=d,b=c
　　则■=■=■=■=91a+10b为正整数，所以四位“和谐数”abcd能被11整除，又由于a,b,c,d的任意性，故任意四位“和谐数”都可以被11整除.
　　⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：zyx，则满足：
　　个位到最高位排列： x,y,z
　　最高位到个位排列： z,y,x
　　由题意，两组数据相同，则：x=z
　　故zyx=xyx=101x+10y
　　■=■=■=9x+y+■为正整数
　　故y=2x(1≤x≤4,x为自然数)
　　点评：本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题意的数． 
　　2  新定义式
　　例2.我们知道，假分数可以化为带分数．例如：■=2+■=2■．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：■，■这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
　　例如：■=■=1-■；■=■=■=■=x+1+■．
　　（1）将分式■化为带分式；
　　（2）若分式■的值为整数，求x的整数值；
　　（3）求函数y=■图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标．
　　考点：分式的性质；类比的思想；配方的思想.
　　分析：（1）分式分子x-1变形为x+2-3，利用同分母分式减法逆运算法则变形即可得到结果；
　　（2）将分式分子2x-1变形为2（x+1）-3，利用同分母分式的减法逆运算法则变形后，由分式的值为整数，即可求出x可能的值；
　　（3）将函数解析式分子变形后，利用同分母分式的加法逆运算法则变形，根据x与y为整数，得出x与y的值，即可确定出所求的坐标．
　　解答：解：（1） ■=■=1-■；
　　（2）■=■=2-■，
　　∵当■为整数时，■也为整数，
　　∴x+1可取得的整数值为±1、±3，
　　∴x的可能整数值为0，-2，2，-4；
　　（3）y=■=■=2(x-1)+■，
　　当x，y均为整数时，必有x+1=±1，
　　解得x=0或-2，
　　则相应的y值分别为-1或-7，
　　故所求的坐标为（0，-1）或（-2，-7）．
　　点评：此题考查了分式的混合运算，分式的值，以及反比例图象上点的坐标特征，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
　　3  新定义定义函数
　　例3.小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
　　求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”．
　　小明是这样思考的：由函数y=-x2+3x-2可知，a1=-1，b1=3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
　　请参考小明的方法解决下面问题：
　　（1）写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”；
　　（2）若函数y=-x2+■mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2017的值；
　　（3）已知函数y=-■（x+1）（x-4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=-■（x+1）（x-4）互为“旋转函数”.
　　考点：二次函数.二次函数图像与两坐标轴相交点坐标；点的对称性.
　　分析：(1)中根据“旋转函数”的定义规定得出两个函数是“旋转函数”时二次项系数、一次项系数、常数项的关系即可求出a1=-1，b1=3，c1=-2；
　　(2)中根据“旋转函数”的定义先求出m,n的值代入式子可算出结果；
　　(3)中先求出函数y=-■（x+1）（x-4）的图象与两坐标轴交点坐标A、B、C，再根据关于原点对称点的坐标的特点求出A1，B1，  C1 的坐标，再求出经过A1，B1，C1的函数解析式，根据“旋转函数”的定义证明即可.
　　解答：解：（1）解：∵a1=-1，b1=3，c1=-2，
　　∴-1+a2=0，b2=3，-2+c2=0，
　　∴a2=1，b2=3，c2=2，
　　∴函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；
　　（2）解：根据题意得■m=-2n，-2+n=0，解得m=-3，n=2，
　　∴（m+n）2017=（-3+2）2017=-1；
　　（3）证明：当x=0时，y=-■（x+1）（x-4）=2，则C（0，2），
　　当y=0时，-■（x+1）（x-4）=0，解得x1=-1，x2=4，则A（-1，0），B（4，0），
　　∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
　　∴A1（1，0），B1（-4，0），C1（0，-2），
　　设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x-1）（x+4），把C1（0，-2）代入得a·2（-1）·4=-2，解得a2=■，
　　∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=■（x-1）（x+4）=■x2+■x-2，
　　而y=-■（x+1）（x-4）=-■x2+■x+2，
　　∴a1+a2=-■+■=0，b1=b2=，c1+c2=2-2=0，
　　∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=-■（x+1）（x-4）互为“旋转函数”.
　　点评：本题是在二次函数的基础上定义的“旋转函数”，考查了二次函数的系数及其它性质.
　　4 新定义图形
　　例4 .如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
　　（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
　　（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
　　猜想结论：（要求用文字语言叙述）　　　　　　
　　写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
　　（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．







　　考点:四边形综合题．
　　分析:（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
　　（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
　　（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．















　　解答:解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
　　证明：∵AB=AD，
　　∴点A在线段BD的垂直平分线上，
　　∵CB=CD，
　　∴点C在线段BD的垂直平分线上，
　　∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
　　∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
　　（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
　　如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
　　求证：AD2+BC2=AB2+CD2
　　证明：∵AC⊥BD，
　　∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
　　由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
　　AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
　　∴AD2+BC2=AB2+CD2；
　　（3）连接CG、BE，
　　∵∠CAG=∠BAE=90°，
　　∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
　　在△GAB和△CAE中，
　　AG=AC,∠GAB=∠CAB，AB=AE
　　∴△GAB≌△CAE，
　　∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
　　∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
　　∴四边形CGEB是垂美四边形，
　　由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
　　∵AC=4，AB=5，
　　∴BC=3，CG=4■，BE=5■，
　　∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，
　　∴GE=■．
　　点评：本题是以信息迁移的方法编拟的图形新定义题，题中涉及四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定方法.
　　以新定义题为背景的问题，主要考查学生的接受、理解、运用新知识以及探索、归纳、判断的能力，解此类问题通常要现学现用的策略完成问题的求解。科学的新定义题能将要考查的内容对素养、能力的考核融合在一起，新定义题的解答，充分锻炼了学生数学综合能力，加强学生数学素养的培养。因此各省市在中考中加大新定义试题的力度是有意义的。