【正文】  笔者曾经参与命制了区域性中考模拟卷，其中一题涉及到旋转相似的最值问题，笔者也翻阅了近几年区域中考模拟卷和考纲也发现了大量的类似试题。从学生答题的情况来看对这一类问题解答有较大的困难，因此本文就这类问题的解法作些探究，与大家分享交流。
　　1、引例
　　（区域中考模拟卷第18题）如图1，A点的坐标是(0,6)，
　　AB=BO，∠ABO=120°，C在x轴上运动，AC的下方作点D，
　　使AD=DC，∠ADC=120°，连结OD，则线段OD的最小值。








　　分析：题干中△AOB固定，共点动态△ACD显然与△AOB相似，我们把这类问题叫做旋转相似问题。此类问题的困惑在于图形大小在变、旋转角度在变，对应点之间的连线段长也在变，旋转中的变化元素成了解题中的绊脚石。如何在变化的图形中找到不变的规律是解决问题的关键。求OD的最小值，O为定点，如果我们知道D的运动轨迹就容易求出OD的最小值。由△ACD∽△AOB发现△ACO∽△ADB是解决问题的关键。
　　简析：如图2，连接BD








　　∵AB=BO，∠ABO=120°，AD=DC，∠ADC=120°，
　　∴■=■ , ∠ABO=∠ADC，∴△ACD∽△AOB, 
　　∴∠CAD=∠OAB,■=■
  ∴∠CAO=∠DAB,∴△ACO∽△ADB,
　　∴∠COA=∠DBA=90°,∵B是定点，∴D在直线l上运动，
　　∴OD⊥l时OD最小为 ■.
　　归纳:我们经历了由一次相似寻找到另一次隐形相似的过程。当C在直线上动时，得到点D的运动轨迹也是一条直线，所以旋转相似中两个点的运动轨迹具有共性。再利用点到直线的距离垂线段最短即可求解。我们也不难发现如果没有这个固定的△AOB，点D的运动轨迹也同样是直线（如图3），所以△AOB起到的作用就是建造了一座桥，利用旋转相似得到动点的运动轨迹，从而求解最值。因此关于旋转相似求最值的问题解题过程我们可以总结如下：
　　① 构建共点固定三角形与动态三角形相似。
　　② 利用一次相似寻找到另一次隐形相似。
　　③ 找到动点的运动轨迹（旋转相似中两个点的运动轨迹有共性）。
　　④ 利用几何性质求最值。















　　2 、基本应用
　　例1（宁波市考纲例卷节选）如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在BC上运动，以AD为斜边向右下方作等腰直角三角形ADG，若F在BC上，且CF=2，求线段FG的最小值。
　　分析：本题在引例的基础上略有延伸，有动态三角形缺共点固定三角形，因此我们只需在AC右侧补上等腰直角三角形ACH即可得到旋转相似求最值的基本图形。
　　简析：在AC右侧作等腰直角三角形ACH。显然△ADG∽△ACH,发现△ADC与△AGH这组隐形相似,由D在线段BC上动可得G在直线l动，从而求出FG的最小值为 ■。
　　例2如图5，已知点A(2■,2■)，AC⊥x轴，垂足为E，交直线y=-x于点F.若点P是直线y=-x上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P运动时，B点随之运动.求线段OB的最小值. 
　　分析：本题与例1有共通之处，有动态三角形缺共点固定三
　　角形，在AF右侧补上与△APB相似的Rt△AFG即可得到旋转
　　相似。这个问题的困难之处在于两次相似后如何求OB的最值。
　　简析：在AF右侧作Rt△AFG，∠AFG=30°。显然△APB∽△AFG,找到隐形相似△AFP∽△AGB，所以∠AGB=∠AFP=45°，所以B在直线l动，直线l与轴夹角为45°。如何求最值？我们可以利用解析法求直线l解析式，与联立方程求交点M的坐标，OB的最小值OM=2■ 。也可以利用几何法求直线l与轴交点H, OH=4，△OMH为等腰直角三角形，OB的最小值OM=2■。
















　　归纳：例1，例2的特点是较容易构造共点固定三角形，动点的
　　运动轨迹都在直线上，利用点到直线的距离垂线段最短求得最值。
　　3、拓展应用
　　会识别上面的基本图形后，在解决较复杂问题时，也可以构造出上面的基本图形，把复杂的问题简单化。
　　例3（宁波市考纲）如图7,⊙O的半径为3，,Rt△ABC的顶点A,B在⊙O上，∠B=90°，点C在⊙O内，且tanA= ■,当点A在圆上运动时，求OC的最小值。
　　分析：这是一个非常经典的运用旋转相似来解决的问题。解决的困难之处在于不易构造共点固定三角形以及动点C的运动轨迹如何确定。由引例给出的结论A在圆上动，C也应该在圆上动，但C点所在圆的圆心在哪里？
　　简析：连接OB，在OB左侧作共点Rt△OBD，tan∠BOD =■，显然△ABC∽△OBD，找到隐形相似△ABO∽△CBD，■=■ ,OA=3所以CD=■,因为D为定点，A在⊙O上动时，C在⊙D上动，所以OC最小变为圆外一点到圆上的距离最小的问题。当C在OD上时OC最小。OD=3×■=■ ,所以OC最小等于■-■=■。对于这个问题也可以连OB后向右侧构造共点固定三角形亦可得求。
　　4、总结
　　解决旋转相似的最值问题，重要的是识别基本模型，以不变应万变。
　　关键是构建共点固定三角形，旋转相似往往出现两次相似的证明，利用两边对应成比例且夹角相等是证明第二次相似的重要方法，两个点的运动轨迹有共性。在平时的教学中要强化学生的模型思想，要帮助学生探究模型的重现过程，在变式中体会模型的实际意义，逐步培养学生模型的迁移能力，逐步养成模型意识。旋转相似求最值问题要求注重培养学生的几何直观，模型思想，逻辑推理能力，这几点正是学生所要培养的数学素养。