【正文】  数学思想，是指人们对数学知识、数学内容和学习研究数学所使用的方法的本质的认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍的规律，直接支配着数学实践活动，是人们对数学规律的理性认识，是解决数学问题的根本策略。初中数学学习最常用的数学思想有：特殊与一般思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，等等。总结概括这些数学思想有利于透彻地理解所学知识，领会掌握并能熟练地运用这些数学思想则可以提高独立分析问题和解决问题的能力。现举例分析数学思想在解决数学问题过程中的运用方法。 
　　一、函数与方程思想的运用
　　函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数知识涉及的知识点多、知识面广，对概念性、应用性、理解性都有一定的要求。运用函数思想常见题型有：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式知识解答等。
　　方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程组与不等式组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来解决问题。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数的研究离不开方程。有时，要实现函数与方程的互相转化、接轨，才能达到解决问题的目的。有时方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想来解答非函数问题。
　　例1．如下图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，，BD过梯形的高AE的中点Ｆ，且BD⊥DC，设AE=h，BC=a．若a、h是关于x的一元二次方程x2-6x+8=0的两根，求sin∠DBC的值。






　　解析：在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC，BD⊥DC，，Ｆ是AE的中点，所以可证得△AFD≌△EFB，所以有BE=AD=1，FD=FB。由于图中的直角三角形较多，因此可以利用勾股定理由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。
　　过D作BC的垂线，垂足为M。则有：
　　BD2=h2+22,h2+(a-2)2=CD2=a2-BD2=a2-(h2+22)．
　　即：h2+(a-2)2=a2-(h2+22)，化简得h2=2a-4．
　　又因为a、h是关于的一元二次方程x2-6x+8=0的两根，所以：a+h=6，a·h=8．于是可求得a=4,h=2（a=2，h=4不符合题意，舍去）．所以EF=EB=1，BF=■，所以sin∠DBC=■．
　　说明：在解答几何图形的问题中我们常常借助勾股定理、相似三角形成比例线段、三角形、特殊四边形的面积等，从中找出等量，为已知量和未知量搭起桥梁。因此我们一旦遇到未知量与已知量关系错综复杂的题目时，就应善于学会运用构建方程的思想去解答，逐步提高运用方程思想解决问题的能力。
　　二、分类讨论思想的运用
　　分类讨论思想，是指在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决，得出各类结果，最后综合各类结果，得出整个问题的结论。分类讨论思想实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想。分类讨论思想常用于：考虑绝对值符号内的代数式是大于0、等于0、还是小于0，从而去掉绝对值符号；在解含有字母系数的方程或不等式时，也要对字母的取值加以讨论；在解答某些结果可能不唯一的数学题时，要对可能出现的情况分别加以讨论；在几何图形性质的推理中也常常用到分类讨论思想，如初中教材圆章节中的“一条弧所对的圆周角与这条弧所对的圆心角之间的关系”，就是通过全面的分类推理得到的。 
　　例题2.已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。







　　解析：应分△ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。此外在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要分情况进行讨论，以避免漏解。











　　综合（1）（2），故△ABC的面积为150或42。
　　说明：在运用分类讨论的思想解答问题时，一定要按照同一个分类标准，考虑问题要全面，针对不同的情况给出不同的解决方法，要做到“不重、不漏”。
　　三、整体思想的运用
　　从问题的整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想。其主要表现形式有整体代入、整体约减、整体值、整体换元、整体合并、整体构造等。整体思想是最常用、最基本的数学思想之一，它是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的一种重要思想方法。整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想在解数学问题中的具体运用。我们在研究数学问题时，如果能运用整体思想，从大处着眼，从整体入手，往往可化繁为简，思路明晰。
　　例题4．如果■+■=2，求■的值。
　　解析：对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，则能开阔思路，顺利解答题目。此题由已知条件可知x+y=2xy，待求式中也含有x+y与xy，因而可将x+y=2xy整体代入求解。即：
　　■=■=■=■=8．
　　四、数形结合思想的运用
　　数形结合思想，就是抓住数与形之间的本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，其应用包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。“以形助数”，是指借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数是目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；“以数辅形”，是指借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形是目的，如应用二元一次方程来精确地阐明直线的几何性质。通过“以形助数”或“以数辅形”，可使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而达到迅速解题的目的。 
　　例5．如下图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个公共点P，与轴交点为Q。过Q点的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图像交于另一点B。若S△BPQ=3S△APQ，求这个二次函数的解析式。










　　解析：本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b、c的方程组，即根据图形的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组，求出b、c的值。那么，该如何利用题目中给出的众多条件呢？ 

























　　说明：以数辅形，求出图像上关键点的坐标，画出图像，然后利用函数图像，构建方程组，从而直观地解决这道难题。显而易见，数形结合，加强了抽象概念与具体形象之间的联系，使数与形的信息相互渗透，使代数关系（数量关系）与直观的几何图形能够有机地结合起来；数形结合，实现了抽象思维与形象思维的有机结合，使复杂的问题简单化，使抽象的问题具体化。 
　　总之，以上所谈的只是几种常见的数学思想的具体运用，实际上数学思想还有很多种，况且这些数学思想也并不是孤立存在的，而是相互联系、相互渗透、相互作用的，因此在应用过程中，我们应针对具体问题进行具体分析，灵活运用这些数学思想。总之，数学思想是数学学科的精髓，是解决数学问题的灵魂，是数学素养的重要内容之一，我们要充分领会和掌握，灵活运用，从而形成能力。