【正文】  解题方法是随着对数学对象的深入研究而逐步发展起来的。勤于钻研习题，精通解题方法，不仅可以促进我们教师练好解题基本功，提高解题技巧，而且还可以促使我们积累教学资料，灵活地使用教材，进而提高我们的业务水平和教学能力。下面介绍的三种解题方法，都是中学数学学习中最适用的方法，也是中学生急需掌握的巧妙方法。
　　方法一：正难则反
　　解数学题一般总是习惯于正向思维，从正面入手；但有些数学题如果从正面入手求解，要么思维受阻，要么较为繁琐，难度太大。而使用“正难则反”之法，打破思维常规，考虑问题的反面，构造其对立的数学形式，向原问题相反的方向去探索，往往能打开解题思路、绝处逢生，且能简化运算过程。
　　例1：把二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得到新函数的解析式为y=x2-2x+1，则b=_______，c=_____。
　　解析：解答此题，若按平时的正向思维，则比较麻烦。若逆其道而行之，把新函数的图象按原路倒回去，先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，即可得到原函数的图象，从而使问题顺利解决。即：由y=x2-2x+1，得y=(x-1)2。先把y=(x-1)2向下平移3个单位，得：y=(x-1)2；再把y=(x-1)2向右平移2个单位，得：y=(x+1)2-3，化为一般式为：y=x2+2x-2，所以可知b=2，c=-2。
　　说明：在向学生推荐这种方法时，教师须通过典型例题的讲解，对学生加强逆向逼近和反向逼近思维方式的指导，并引导学生通过模仿训练，及时巩固，方能使学生真正学会并灵活运用这种方法。
　　方法二：设而不求
　　设而不求也是解数学题的一种重要方法。所谓设而不求，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不是要直接解出变量的值。而是利用某种关系去表示变量间的联系，进而得出需要的结论。这里应明确，设而不求的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，可起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用。采用这种策略，往往能避免盲目推演而造成无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的效果。比如解析几何的综合问题，常常与直线和二次曲线的位置有关，如何避免求交点，进而简化计算？运用设而不求之法即可使问题迎刃而解。
　　例2：某工厂要给一个水池注水，现有甲、乙、丙三台抽水机，如果由甲、乙两台抽水机共同注水，需要10小时完成；如果由乙、丙两台抽水机注水，需要12小时才能注满。现在先由甲、丙两台抽水机共同注水4小时，剩下的再由乙抽水机单独给水池注水，需12小时才能注满。请问，如果由乙抽水机单独给这个水池注水，需要几小时能够注满？
　　分析：看到这道题，我们首先想到的是运用列方程（组）的方法。而方程（组）最大的作用并不在于能够求出未知量，而在于能够尽量避免不需要求解的未知量，只要求解出需要知道的未知量即可。这就是“设而不求”的思想。
　　解：设甲、乙、丙分别用x、y、z小时可单独注满水池，
　　则根据题意，得：■+■=■     ①■+■=■     ②(■+■)×4=1-■×12 ③  
　　将①、②两式相加，得：■+■=■+■-■，代入③式，得：
　　(■+■-■)×4=1-■×12，
　　解得：y=15
　　故：由乙抽水机单独给这个水池注水，需要15小时能够注满。
　　说明：解答此题中，根据设出的未知数得到的是三元方程组，而题目又不需要我们求出x、z的值，事实上，求起来也比较麻烦，如果硬要将所有的未知量全都解出来，不仅容易出错，而且还会浪费我们宝贵的时间。由于解答本题时使用了设而不求的方法，将(■+■)视为一个整体，把①、②两式相加，同时将、这两个“多余量”一齐消去，从而大大简化了解题过程，这样做简便多了。
　　方法三：构造方程
　　对于那些综合性、技巧性强的数学题，量与量之间的关系不是十分明显，常使许多学生感到束手无策。但如果能引导学生根据题目的条件和结论以及问题的结构特征进行联想，利用一元二次方程的根与系数的关系构造出适当的方程，同学们就能比较清晰地揭示出问题的内在关系，从而顺利地解决问题。而且运用这种方法还有利于培养学生的创新能力和思维能力。
　　例3：已知△ABC三边的长为a、b、c，且满足b+c=2(a-1)，bc=a2-2a+1。（1）试判断此三角形的形状？（2）求a-c的值。
　　分析：（1）由于b+c=2(a-1)，bc=a2-2a+1，所以b、c是方程x2-2(a-1)x+(a2-2a+1)=0的两个实数根，则△=4(a-1)2-4(a2-2a+1)=0，所以方程有两个相等的实数根，即b=c。于是可判定此三角形为等腰三角形。（2）在上述基础上，可知：2c=2(a-1)，即a-c=1。
　　解：（1）∵a、b、c为△ABC三边的长，b+c=2(a-1)，bc=a2-2a+1，
　　∴b、c是方程x2-2(a-1)x+(a2-2a+1)=0的两个实数根，
　　∴△=4(a-1)2-4(a2-2a+1)=0，
　　∴方程有两个相等的实数根，即b=c。
　　∴此三角形为等腰三角形。
　　（2）∵b=c，b+c=2(a-1)，
　　∴2c=2(a-1)，即a-c=1。
　　说明：本题由于利用根与系数的关系，采取构造方程的办法，进而利用判别式判定出根的情况，不仅快捷地判定出三角形的形状，还简化了解题过程，思路也很清晰，非常巧妙。
　　总的来说，上面介绍的三种解题方法非常巧妙适用，特别对于难度较大的题目，作用将更加明显。但在实际运用时，我们决不能让学生一味地选择简便方法，养成专门走捷径的不良习惯，应作适当的引导，引导学生辩证地看待任何问题，多掌握一些解题方法，哪怕是笨办法，也应尽量掌握。特别是在解题得出结论后，不能就这样算了，应要求学生有一个反思回顾的过程，以避免不必要的失误。教育学生遇到任何问题都要进行三思：一思，题目涉及到哪些知识点，涉及到哪些解题规律、技巧、数学思想与方法。对这些知识和方法能否熟练掌握，能否运用自如。二思，典型习题的分析方法与解法。对这道题是否还有别的想法和解法，在解其它问题时，是否也用到过这种分析方法与解法，能否把它们联系起来，从条件变换到多解优解、概括思路、异题迁移等多个方面进行主体化思考，进而揭示知识间的内在联系，形成知识网络。三思，存在的弱点。整理错题档案，分析出错的原因，检查知识和技巧运用方面的欠缺，以防再错。三思之后，相信同学们就会得到更多的经验和教训。