刊名： 课程·教材·教法
Curriculum, Teaching Material and Method
主办： 人民教育出版社 课程教材研究所
周期： 月刊
出版地：北京
语种： 中文
开本： 大16K
ISSN： 1000-0186
CN： 11-1278/G4
历史沿革：
1981年创刊期刊荣誉：
国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊
中国期刊网来源刊
2011年度核心期刊，国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊，中国期刊网来源刊，百种重点期刊，社科双百期刊，首届全国优秀社科期刊。
以解题反思教学促进学生数学能力提升
【作者】 郭 峰
【机构】 湖北省丹江口市凉水河镇中学
【正文】 【摘 要】 数学反思环节是提高数学教学能力的一条捷径，有了反思，使学习观念不只停留在会算、会变形、会套公式的认识上，知道还有更重要的东西要学，那就是数学思维方法、数学语言的学习。
【关键词】 解题方法；反思；提高能力
反思教学在于不断增强学生的反思的意识，掌握反思问题的一些方法，培养反思问题的习惯，从而发展思维。对数学问题多种方法的探究就是要通过不同的观察侧面，思维触角伸向不同方向，不同层次，发展发散思维能力，为将来会学数学，学好数学奠定基础。结合教学实际谈谈自己的一些思考。
一、从解题策略的反思中总结数学方法及本质联系
有很多数学问题都有不同的解答方法，并且随着不断学习，知识的增加，解答同一问题的方法也会越来越多。
如：在学习四边形内角和时，看下面的问题：
1、图（1）中作对角线AC、BD能求出四边形ABCD的内角和吗？
2、图（1）中如果在四边形ABCD的内部任取一点P，连结PA、PB、PC、PD能得到几个三角形？
根据这些三角形，你能求出四边形ABCD内角和吗？
通过探索并解答，最后在反思的基础上进一步提炼，不断的开发思维，提出新的问题，从根本上提高数学能力。
通过思考很快得以解决，在此顺势思考“图中的点P可不可以移动，移动后是否还可以推出四边形内角和？”
方法1：如图（2）在AB上任取一点P，连结DP、CP
∠A＋∠B+∠BCD+∠ADC
＝（∠A+∠1+∠7）+（∠2+∠3+∠6）+（∠4+∠B∠5）-（∠5+∠6+∠7）
＝180°+ 180°+ 180°- 180°
＝360°
方法2：如图（3）在四边形外任取一点，连结AP、BP、CP、DP
∠BAD＋∠ABC+∠BCD+∠ADC
＝（∠DAB+∠8+∠7+∠1）+（∠2+∠3+∠6）
+（∠4+∠CBA+∠9+∠5）
-（∠8+∠9++∠5+∠6+∠7）
＝180°+ 180°+ 180°- 180°
＝360°
方法3：如图（4）在AB延长线上取一点P，连结DP、CP
∠A＋∠ABC+∠BCD+∠ADC
＝∠A+∠3+∠4+∠5+∠5+∠BCD+∠1+∠2
＝（∠A+∠1+∠5）+（∠2+∠3+∠4+∠BCD）
＝180°+ 180°
＝360°
如果我们对上面的解法仅停留在“一题多解”操作面上，那就是“进宝山而空还”，错过提炼精华的大好时机。因此，应该分析上述图中众多解法所体现的数学思想方法及本质联系。
从数学思想方法上看：
1、化归的思想方法。
都是通过辅助线将四边形内角和化归为三角形内角和。
2、分解与组合、数形结合的思想方法。
如图中的分割、转移、合并、代数式的拆项、交换与结合。
3、不变量思想。
如角A、B、C、D变化，但和不变。从众多解法的关系上看：化归时，做辅助线的方式千差万别，有多有少，但本质上都是先取一个点（P），然后将这个点与四边形的顶点（A、B、C、D）连线。点P与四边形的位置关系是共同本质。
整个过程重点是：数学本质、数学思维、问题解决中化归思想的提炼。
二、从一题多变反思解决问题的思维方法能否迁移
改变题目的条件会导出什么新结论，保留题目的条件，结论能否进一步加强，条件做类似变换，结论能扩大到一般，等等，像这样富有创造性的全方位思考，常常是发现新知识、认识新知识的突破口。
例如，在对“地板铺设”的练习中，可先剪六个完全相同的任意三角形，然后把这六个三角形密铺，反思从实验中获得的理解和认识：三角形内角和为180°，只要把三角形内角“复制”1次，得到六个角，把它们拼在一起，围绕一点便可拼成地板。
第二步可这样设计：若用一种正多边形来铺地板，要遵循哪些原则？有几种拼法？通过这样的问题情境，能构建用正多边形铺地板的拼接原理。设正多边形的一个角为x，在一个拼接点要铺满地板，则x必是360°的约数，而正多边形每个内角一定大于或等于60°，小于180°，因而可解得x等于60°或90°或120°，故用一种多边形能铺满地板的只有正三角形、正方形和正六边形。
第三步可设计更加指向数学化本质的活动：用边长相等的正五边形和正十边形材料能铺满地板吗？解答时可设有x个正五边形，y个正十边形能铺满地板，则有108x+144y=360，解得x=2，y=1，因此可以认为用正五边形与正十边形密铺。事实上，两种正多边形尽管能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，因为存在一个36°的缺口。
通过这种反思，由一题多变，侧重训练了思维递进性；由多题一解，侧重训练思维的深刻性；由条件和结论的换位，侧重训练思维的变通性；由多向探索，侧重训练思维的广阔性。掌握一类题型的解法，可以达到事半功倍的效果。
从以上几个案例，我们可以看出，落实解题后的反思，对提高数学思维能力有其重要的意义，它是由知识到能力的一条必由之路。
【关键词】 解题方法；反思；提高能力
反思教学在于不断增强学生的反思的意识，掌握反思问题的一些方法，培养反思问题的习惯，从而发展思维。对数学问题多种方法的探究就是要通过不同的观察侧面，思维触角伸向不同方向，不同层次，发展发散思维能力，为将来会学数学，学好数学奠定基础。结合教学实际谈谈自己的一些思考。
一、从解题策略的反思中总结数学方法及本质联系
有很多数学问题都有不同的解答方法，并且随着不断学习，知识的增加，解答同一问题的方法也会越来越多。
如：在学习四边形内角和时，看下面的问题：
1、图（1）中作对角线AC、BD能求出四边形ABCD的内角和吗？
2、图（1）中如果在四边形ABCD的内部任取一点P，连结PA、PB、PC、PD能得到几个三角形？
根据这些三角形，你能求出四边形ABCD内角和吗？
通过探索并解答，最后在反思的基础上进一步提炼，不断的开发思维，提出新的问题，从根本上提高数学能力。
通过思考很快得以解决，在此顺势思考“图中的点P可不可以移动，移动后是否还可以推出四边形内角和？”
方法1：如图（2）在AB上任取一点P，连结DP、CP
∠A＋∠B+∠BCD+∠ADC
＝（∠A+∠1+∠7）+（∠2+∠3+∠6）+（∠4+∠B∠5）-（∠5+∠6+∠7）
＝180°+ 180°+ 180°- 180°
＝360°
方法2：如图（3）在四边形外任取一点，连结AP、BP、CP、DP
∠BAD＋∠ABC+∠BCD+∠ADC
＝（∠DAB+∠8+∠7+∠1）+（∠2+∠3+∠6）
+（∠4+∠CBA+∠9+∠5）
-（∠8+∠9++∠5+∠6+∠7）
＝180°+ 180°+ 180°- 180°
＝360°
方法3：如图（4）在AB延长线上取一点P，连结DP、CP
∠A＋∠ABC+∠BCD+∠ADC
＝∠A+∠3+∠4+∠5+∠5+∠BCD+∠1+∠2
＝（∠A+∠1+∠5）+（∠2+∠3+∠4+∠BCD）
＝180°+ 180°
＝360°
如果我们对上面的解法仅停留在“一题多解”操作面上，那就是“进宝山而空还”，错过提炼精华的大好时机。因此，应该分析上述图中众多解法所体现的数学思想方法及本质联系。
从数学思想方法上看：
1、化归的思想方法。
都是通过辅助线将四边形内角和化归为三角形内角和。
2、分解与组合、数形结合的思想方法。
如图中的分割、转移、合并、代数式的拆项、交换与结合。
3、不变量思想。
如角A、B、C、D变化，但和不变。从众多解法的关系上看：化归时，做辅助线的方式千差万别，有多有少，但本质上都是先取一个点（P），然后将这个点与四边形的顶点（A、B、C、D）连线。点P与四边形的位置关系是共同本质。
整个过程重点是：数学本质、数学思维、问题解决中化归思想的提炼。
二、从一题多变反思解决问题的思维方法能否迁移
改变题目的条件会导出什么新结论，保留题目的条件，结论能否进一步加强，条件做类似变换，结论能扩大到一般，等等，像这样富有创造性的全方位思考，常常是发现新知识、认识新知识的突破口。
例如，在对“地板铺设”的练习中，可先剪六个完全相同的任意三角形，然后把这六个三角形密铺，反思从实验中获得的理解和认识：三角形内角和为180°，只要把三角形内角“复制”1次，得到六个角，把它们拼在一起，围绕一点便可拼成地板。
第二步可这样设计：若用一种正多边形来铺地板，要遵循哪些原则？有几种拼法？通过这样的问题情境，能构建用正多边形铺地板的拼接原理。设正多边形的一个角为x，在一个拼接点要铺满地板，则x必是360°的约数，而正多边形每个内角一定大于或等于60°，小于180°，因而可解得x等于60°或90°或120°，故用一种多边形能铺满地板的只有正三角形、正方形和正六边形。
第三步可设计更加指向数学化本质的活动：用边长相等的正五边形和正十边形材料能铺满地板吗？解答时可设有x个正五边形，y个正十边形能铺满地板，则有108x+144y=360，解得x=2，y=1，因此可以认为用正五边形与正十边形密铺。事实上，两种正多边形尽管能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，因为存在一个36°的缺口。
通过这种反思，由一题多变，侧重训练了思维递进性；由多题一解，侧重训练思维的深刻性；由条件和结论的换位，侧重训练思维的变通性；由多向探索，侧重训练思维的广阔性。掌握一类题型的解法，可以达到事半功倍的效果。
从以上几个案例，我们可以看出，落实解题后的反思，对提高数学思维能力有其重要的意义，它是由知识到能力的一条必由之路。
