【正文】  【摘 要】 在高中解析几何教学中引入题根教学法，应当明确其中的逻辑主线，全面了解例题的主要作用，找到选题方向，基于合理性和梯度性原则设计问题变式，引导学生根据立体分析其他同类问题，并探讨问题的本质。同时，还应当注意不同题目之间的变化规律，逐渐加深问题的难度。进而提升学生的解题能力。这也体现了题根教学有助于加强学生的解题能力。本文主要探讨了高中解析几何教学中题根教学法的有效运用策略。
　　【关键词】 题根教学；高中；解析几何；应用策略

　　一、题根教学概述
　　题根教学也叫作母题教学和变式教学，是双基和创新的重要连接纽带。教师应当开展与学生认知能力相符的题根教学，设计与他们最近发展区最贴近的问题，实施对问题条件或问题结论的变换、对问题形式和问题内容的转化等，关注问题设计的合理性，并采用正确的变式技巧。题根教学在我国数学教学模式中具有传统性和典型性的特点，其经验基础十分广泛，且具有实践性。笔者根据自身的数学教学经验，以解析几何为例，提出了有效的题根教学策略。
　　二、题根教学设计
　　引入题根
　　解析几何图形的切入点就是“题根”，教师首先应当整理几何基本图形，在讲解几何知识及其探究方法时，概括图形的基本特征，以此为重点变换几何图形的根，然后找到其共性，构建解决问题所需的几何模型。
　　例如在直线和圆的关系中，教师在数学课堂中首先可以提问：“直线与圆”具有那些位置关系？怎样判断”
　　这时由学生回答：“两者存在相切关系、相交关系和相离关系。根据圆心距离直线的长度与半径的比值可以得出两者关系”
　　接着教师可以趁机引入本节课的知识点：“让我们换个角度思考，如果直线和圆或某个对象的位置关系或具体方程已知，那么另一个对象，该怎么求它的方程？”
　　题根：已知点M的坐标为（1，2），在与圆O相切处为x2＋y=1直线方程。
　　此时，有许多学生的解答没有考虑不存在斜率的问题。
　　而在解题中采用题根可以进行定量和定性分析，且具有提炼和拓展功能，教师应当全面发挥题根的作用。
　　第一种解法：已知直线和圆的关系是相切，且圆心距离直线l的长度为r。
　　将直线方程l表示成y-2=k（x-1），那么，在存在斜率的情况下可以表示为：kx-y-k+2-0
　　r为圆心距离直线的长度d，那么■=1，k最终的解为■。
　　因此，l直线可表示为如下方程：3x-4y+5=0。
　　因为点M并不在圆内，且切线有2条，那么另一条直线不存在斜率，所以x的值为1。
　　直线l可以表示为如下方程：3x-4y+5=0或x=0
　　教师通过教学反思，结合学生的认知基础和所学的知识，在直线和圆的关系中引入基本图形的解法，凸显了知识形成过程，采用直观的基本图形来解决复杂的结合图形，其中集合了转化理念和数形结合理念，可以实现一点就通的效果，也说明了题根在解题中的重要作用。
　　（二）方法之根——整体架构
　　在旋转变化图形的过程中，基本图形之根是不变的，不断推广和延伸的是与题根相关的的知识点，通过整体感知和比较，可以不断加深学生的理性认识，在教授他们“方法之根”后，学生可以立即找到此类题目的规律，更加轻松的解题。笔者以三角形知识点为例，假设△ABC和△CDE都是等腰三角形，如图1所示，BC上有点D，连接B点和E点、A点和D点，延长AD与BE在F点相交。
　　如图1，求证∶BE与AD相等，BE垂直于AF。






图1

　　以C点位中心，顺时针旋转△ABC，连接B点和E点、A点和D点，AD与BE和BC的交点为F和G，请问结论（1）是否还成立？请说明成立或不成立的理由。







图2

　　思路分析
　　（1）证：假设△BCE与△ACD全完相等，那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等，如图3所示，得∠FBD和∠BFD的合与∠DAC和∠ACD的合相同，又因为∠ACD为直角三角形，所以∠FBD和∠ACD都是90°







图3

　　采用（1）的解法，画出图形“8字形”，如图4所示，有∠BFG和∠FBG的合与∠ACG和∠CAG的合相同，然后证明CAG为90°。








图4

　　变式1
　　如图5，△ABC和△CDE为等边三角形。
　　（1）求证：BE与AD相等；
　　（2）求AD与BE之间的夹角度数







图5

　　思路：假设△BCE与△ACD全完相等，那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等，如图6所示，得∠EPD和∠PEC的合与∠PDC和∠ECD的合相同，所以∠EPD和∠ECD都是60°






图6

　　变式2
　　如图7，已知△ABC，△CDE为等腰三角形，∠ACB和∠DCE都是顶角，值为α。
　　（1）求证：BE与AD相等；
　　（2）求AD与BE之间的夹角度数






图7

　　思路：假设△BCE与△ACD全完相等，那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等，如图7所示，得∠EPD和∠PEC的合与∠PDC和∠ECD的合相同，所以∠EPD和∠ECD都是α。







图8

　　采用数学反思法积累此类基本图形及其特征，可以帮助学生掌握良好的试图辨析技能，有机的融合基础知识和基本方法，可以直接找到题目结论和解题方法，启发和发散学生的思维。
　　结束语
　　并非所有题目都可以作为典型例题，如果题目间缺乏关联性，不重视数学问题的整体性，那么学生再努力学习，也无法取得理想的效果，进而会影响他们的学习兴趣。题根的主要特点就是具有生长性的“根”，所以“题根”相当于题的“基因”。有基因的题目才会有生长性。
　　参考文献：
　　[1]李桂娟，许江华.题根教学实践研究——以“直线与圆的位置关系”习题课为例[J].中学数学教学参考，2020（22）：3.
　　[2]宋磊.追根溯源，涵养素养——基于“最近发展区理论”的题根教学实践与思考[J].中小学数学：高中版，2019（5）：3.