刊名: 课程·教材·教法
Curriculum, Teaching Material and Method
主办: 人民教育出版社 课程教材研究所
周期: 月刊
出版地:北京
语种: 中文
开本: 大16K
ISSN: 1000-0186
CN: 11-1278/G4
历史沿革:
1981年创刊期刊荣誉:
国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊
中国期刊网来源刊
2011年度核心期刊,国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊,中国期刊网来源刊,百种重点期刊,社科双百期刊,首届全国优秀社科期刊。
题根教学在高中解析几何中的应用研究
【作者】 张雪妍
【机构】 新疆乌鲁木齐市第六十一中学
【正文】 【摘 要】 在高中解析几何教学中引入题根教学法,应当明确其中的逻辑主线,全面了解例题的主要作用,找到选题方向,基于合理性和梯度性原则设计问题变式,引导学生根据立体分析其他同类问题,并探讨问题的本质。同时,还应当注意不同题目之间的变化规律,逐渐加深问题的难度。进而提升学生的解题能力。这也体现了题根教学有助于加强学生的解题能力。本文主要探讨了高中解析几何教学中题根教学法的有效运用策略。
【关键词】 题根教学;高中;解析几何;应用策略
一、题根教学概述
题根教学也叫作母题教学和变式教学,是双基和创新的重要连接纽带。教师应当开展与学生认知能力相符的题根教学,设计与他们最近发展区最贴近的问题,实施对问题条件或问题结论的变换、对问题形式和问题内容的转化等,关注问题设计的合理性,并采用正确的变式技巧。题根教学在我国数学教学模式中具有传统性和典型性的特点,其经验基础十分广泛,且具有实践性。笔者根据自身的数学教学经验,以解析几何为例,提出了有效的题根教学策略。
二、题根教学设计
引入题根
解析几何图形的切入点就是“题根”,教师首先应当整理几何基本图形,在讲解几何知识及其探究方法时,概括图形的基本特征,以此为重点变换几何图形的根,然后找到其共性,构建解决问题所需的几何模型。
例如在直线和圆的关系中,教师在数学课堂中首先可以提问:“直线与圆”具有那些位置关系?怎样判断”
这时由学生回答:“两者存在相切关系、相交关系和相离关系。根据圆心距离直线的长度与半径的比值可以得出两者关系”
接着教师可以趁机引入本节课的知识点:“让我们换个角度思考,如果直线和圆或某个对象的位置关系或具体方程已知,那么另一个对象,该怎么求它的方程?”
题根:已知点M的坐标为(1,2),在与圆O相切处为x2+y=1直线方程。
此时,有许多学生的解答没有考虑不存在斜率的问题。
而在解题中采用题根可以进行定量和定性分析,且具有提炼和拓展功能,教师应当全面发挥题根的作用。
第一种解法:已知直线和圆的关系是相切,且圆心距离直线l的长度为r。
将直线方程l表示成y-2=k(x-1),那么,在存在斜率的情况下可以表示为:kx-y-k+2-0
r为圆心距离直线的长度d,那么■=1,k最终的解为■。
因此,l直线可表示为如下方程:3x-4y+5=0。
因为点M并不在圆内,且切线有2条,那么另一条直线不存在斜率,所以x的值为1。
直线l可以表示为如下方程:3x-4y+5=0或x=0
教师通过教学反思,结合学生的认知基础和所学的知识,在直线和圆的关系中引入基本图形的解法,凸显了知识形成过程,采用直观的基本图形来解决复杂的结合图形,其中集合了转化理念和数形结合理念,可以实现一点就通的效果,也说明了题根在解题中的重要作用。
(二)方法之根——整体架构
在旋转变化图形的过程中,基本图形之根是不变的,不断推广和延伸的是与题根相关的的知识点,通过整体感知和比较,可以不断加深学生的理性认识,在教授他们“方法之根”后,学生可以立即找到此类题目的规律,更加轻松的解题。笔者以三角形知识点为例,假设△ABC和△CDE都是等腰三角形,如图1所示,BC上有点D,连接B点和E点、A点和D点,延长AD与BE在F点相交。
如图1,求证∶BE与AD相等,BE垂直于AF。
图1
以C点位中心,顺时针旋转△ABC,连接B点和E点、A点和D点,AD与BE和BC的交点为F和G,请问结论(1)是否还成立?请说明成立或不成立的理由。
图2
思路分析
(1)证:假设△BCE与△ACD全完相等,那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等,如图3所示,得∠FBD和∠BFD的合与∠DAC和∠ACD的合相同,又因为∠ACD为直角三角形,所以∠FBD和∠ACD都是90°
图3
采用(1)的解法,画出图形“8字形”,如图4所示,有∠BFG和∠FBG的合与∠ACG和∠CAG的合相同,然后证明CAG为90°。
图4
变式1
如图5,△ABC和△CDE为等边三角形。
(1)求证:BE与AD相等;
(2)求AD与BE之间的夹角度数
图5
思路:假设△BCE与△ACD全完相等,那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等,如图6所示,得∠EPD和∠PEC的合与∠PDC和∠ECD的合相同,所以∠EPD和∠ECD都是60°
图6
变式2
如图7,已知△ABC,△CDE为等腰三角形,∠ACB和∠DCE都是顶角,值为α。
(1)求证:BE与AD相等;
(2)求AD与BE之间的夹角度数
图7
思路:假设△BCE与△ACD全完相等,那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等,如图7所示,得∠EPD和∠PEC的合与∠PDC和∠ECD的合相同,所以∠EPD和∠ECD都是α。
图8
采用数学反思法积累此类基本图形及其特征,可以帮助学生掌握良好的试图辨析技能,有机的融合基础知识和基本方法,可以直接找到题目结论和解题方法,启发和发散学生的思维。
结束语
并非所有题目都可以作为典型例题,如果题目间缺乏关联性,不重视数学问题的整体性,那么学生再努力学习,也无法取得理想的效果,进而会影响他们的学习兴趣。题根的主要特点就是具有生长性的“根”,所以“题根”相当于题的“基因”。有基因的题目才会有生长性。
参考文献:
[1]李桂娟,许江华.题根教学实践研究——以“直线与圆的位置关系”习题课为例[J].中学数学教学参考,2020(22):3.
[2]宋磊.追根溯源,涵养素养——基于“最近发展区理论”的题根教学实践与思考[J].中小学数学:高中版,2019(5):3.
【关键词】 题根教学;高中;解析几何;应用策略
一、题根教学概述
题根教学也叫作母题教学和变式教学,是双基和创新的重要连接纽带。教师应当开展与学生认知能力相符的题根教学,设计与他们最近发展区最贴近的问题,实施对问题条件或问题结论的变换、对问题形式和问题内容的转化等,关注问题设计的合理性,并采用正确的变式技巧。题根教学在我国数学教学模式中具有传统性和典型性的特点,其经验基础十分广泛,且具有实践性。笔者根据自身的数学教学经验,以解析几何为例,提出了有效的题根教学策略。
二、题根教学设计
引入题根
解析几何图形的切入点就是“题根”,教师首先应当整理几何基本图形,在讲解几何知识及其探究方法时,概括图形的基本特征,以此为重点变换几何图形的根,然后找到其共性,构建解决问题所需的几何模型。
例如在直线和圆的关系中,教师在数学课堂中首先可以提问:“直线与圆”具有那些位置关系?怎样判断”
这时由学生回答:“两者存在相切关系、相交关系和相离关系。根据圆心距离直线的长度与半径的比值可以得出两者关系”
接着教师可以趁机引入本节课的知识点:“让我们换个角度思考,如果直线和圆或某个对象的位置关系或具体方程已知,那么另一个对象,该怎么求它的方程?”
题根:已知点M的坐标为(1,2),在与圆O相切处为x2+y=1直线方程。
此时,有许多学生的解答没有考虑不存在斜率的问题。
而在解题中采用题根可以进行定量和定性分析,且具有提炼和拓展功能,教师应当全面发挥题根的作用。
第一种解法:已知直线和圆的关系是相切,且圆心距离直线l的长度为r。
将直线方程l表示成y-2=k(x-1),那么,在存在斜率的情况下可以表示为:kx-y-k+2-0
r为圆心距离直线的长度d,那么■=1,k最终的解为■。
因此,l直线可表示为如下方程:3x-4y+5=0。
因为点M并不在圆内,且切线有2条,那么另一条直线不存在斜率,所以x的值为1。
直线l可以表示为如下方程:3x-4y+5=0或x=0
教师通过教学反思,结合学生的认知基础和所学的知识,在直线和圆的关系中引入基本图形的解法,凸显了知识形成过程,采用直观的基本图形来解决复杂的结合图形,其中集合了转化理念和数形结合理念,可以实现一点就通的效果,也说明了题根在解题中的重要作用。
(二)方法之根——整体架构
在旋转变化图形的过程中,基本图形之根是不变的,不断推广和延伸的是与题根相关的的知识点,通过整体感知和比较,可以不断加深学生的理性认识,在教授他们“方法之根”后,学生可以立即找到此类题目的规律,更加轻松的解题。笔者以三角形知识点为例,假设△ABC和△CDE都是等腰三角形,如图1所示,BC上有点D,连接B点和E点、A点和D点,延长AD与BE在F点相交。
如图1,求证∶BE与AD相等,BE垂直于AF。
图1
以C点位中心,顺时针旋转△ABC,连接B点和E点、A点和D点,AD与BE和BC的交点为F和G,请问结论(1)是否还成立?请说明成立或不成立的理由。
图2
思路分析
(1)证:假设△BCE与△ACD全完相等,那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等,如图3所示,得∠FBD和∠BFD的合与∠DAC和∠ACD的合相同,又因为∠ACD为直角三角形,所以∠FBD和∠ACD都是90°
图3
采用(1)的解法,画出图形“8字形”,如图4所示,有∠BFG和∠FBG的合与∠ACG和∠CAG的合相同,然后证明CAG为90°。
图4
变式1
如图5,△ABC和△CDE为等边三角形。
(1)求证:BE与AD相等;
(2)求AD与BE之间的夹角度数
图5
思路:假设△BCE与△ACD全完相等,那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等,如图6所示,得∠EPD和∠PEC的合与∠PDC和∠ECD的合相同,所以∠EPD和∠ECD都是60°
图6
变式2
如图7,已知△ABC,△CDE为等腰三角形,∠ACB和∠DCE都是顶角,值为α。
(1)求证:BE与AD相等;
(2)求AD与BE之间的夹角度数
图7
思路:假设△BCE与△ACD全完相等,那么BE与AD、∠FBD和∠DAC相等,如图7所示,得∠EPD和∠PEC的合与∠PDC和∠ECD的合相同,所以∠EPD和∠ECD都是α。
图8
采用数学反思法积累此类基本图形及其特征,可以帮助学生掌握良好的试图辨析技能,有机的融合基础知识和基本方法,可以直接找到题目结论和解题方法,启发和发散学生的思维。
结束语
并非所有题目都可以作为典型例题,如果题目间缺乏关联性,不重视数学问题的整体性,那么学生再努力学习,也无法取得理想的效果,进而会影响他们的学习兴趣。题根的主要特点就是具有生长性的“根”,所以“题根”相当于题的“基因”。有基因的题目才会有生长性。
参考文献:
[1]李桂娟,许江华.题根教学实践研究——以“直线与圆的位置关系”习题课为例[J].中学数学教学参考,2020(22):3.
[2]宋磊.追根溯源,涵养素养——基于“最近发展区理论”的题根教学实践与思考[J].中小学数学:高中版,2019(5):3.